Frage:
Liegt die Primzahl für Derivate $ f '$ an Euler?
Michael Bächtold
2017-06-19 13:04:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Cajori, die Website zu Frühesten Verwendungen von Symbolen der Analysis und viele andere Quellen behaupten, Lagrange habe die Notation $ f '(x) $ für die Ableitung von $ f (x) $ in Bezug auf eingeführt zu $ x $. Aber ich sehe, wie Euler es 1748 in Sur la vibration des cordes p verwendet. 78-79

[$ \ ldots $] für verschiedene Funktionen $ f {:} z $ par $ dz \, f '{:} z $, & le differentiel de la fonction $ f '{:} z $ par $ dz \, f' '{:} z $.

(Er verwendet die alternative Notation für "Funktionsanwendung" $ f {:} x $, anstelle der heutzutage üblichen $ f (x) $.)

Um diese Zeit war Lagrange 12 Jahre alt und zeigte laut Wikipedia kein Interesse an Mathematik, bevor er 17 Jahre alt war Es ist unwahrscheinlich, dass Euler es von Lagrange bekommen hat. Andererseits hat Lagrange die Werke von Euler studiert, und es ist zu vermuten, dass Lagrange sie ihm weggenommen hat.

Kann jemand diesen Zustand bestätigen?

Zwei antworten:
Francois Ziegler
2018-05-29 02:50:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ich stimme zu , da es weitere Beweise dafür gibt, dass Lagrange seine Primzahlen von Euler erhalten hat:

1. Alle seit Cajori ( 1923), S. 6; 1929, S. 207) zitiert Théorie des fonctions analytiques ( 1797) ) für die (sic) "neue" Notation $ \ f'x, $ $ \ f''x, $ $ \ f '' 'x, $ $ \ f ^ {\ scriptsize {\ mathrm {IV}}} x $. Aber Eulers viel früheres Institutionum calculi Integralis vol. 3 ( 1770) hatte bereits systematisch sein eigenes $ \ f '\! \ !: \! X, $ $ \ f' '\! \ !: \! X, $ bereitgestellt $ \ f '' '\! \ !: \! x, $ $ \ f ^ {\ scriptsize {\ mathrm {IV}}} \! \ !: \! x $ (siehe z. B. S. 37- 41, 45-65, 75-88, 93-103, 108-149, 234-237, 242-250, 262-268 usw.) . Notational hat Lagrange gerade den Bewertungspunkt fallen gelassen.

2. Cajori (ebenda) fügt hinzu, dass Lagrange bereits $ \ psi'x $ geschrieben hat ( 1770, S. 275). Aber er hatte $ \ varphi't, $ $ \ varphi''t, $ $ \ varphi '' 't, $ $ \ varphi ^ {\ scriptsize {\ mathrm {IV}}} t $ noch früher in ( 1766, S. 206, 212, 275) und ( 1762, S. 43, 63), und diese beiden Artikel sind beide unmittelbar in derselben Zeitschrift vorangestellt (bearbeitet) von Lagrange) durch Beiträge von Euler mit $ \ Gamma '\! \ !: \! u, $ $ \ \ Gamma' '\! \ !: \! u, $ usw. in () 1766, S. 13, 32, 62, 69 usw.) und $ \ varphi'z, $ $ \ \ varphi''z $ usw. in ( 1762, S. 9).

3. Cajori zitiert auch Jourdain ( 1913, S. 540) dahingehend, dass Lagrange den Abschnitt wahrscheinlich geschrieben hat von de Foncenex ( 1762, S. 321), wobei $ \ xi'x, $ $ \ xi''x, $ $ \ xi '' 'x, $ $ \ xi ^ {\ scriptsize { \ mathrm {IV}}} x \ $ "bezeichnet, wie üblich, die aufeinanderfolgenden Unterschiede von $ \ xi x $ geteilt durch $ dx $". Aber dies folgt den oben erwähnten Arbeiten von Euler und Lagrange (gleicher Band) .

4. Wie Sie festgestellt haben, hatte Euler zuvor in ( 1749, S. 521) $ = $ ( 1750 , S. 79). Er tat es erneut in ( 1755, S. 212, 215), ( 1764, S. 256), ( 1766, S. 195, 220, 250) - geschrieben im Jahre 1759 und mit, p. 258, der bemerkenswerte Satz

les caracteres $ \ Phi $ & $ \ Psi $ marquent des fonctions quelconques régulieres oder irrégulieres, d'où par la différentiation on aura les fonctions dérivées $ \ Phi '$ & $ \ Psi' $,

( 1767, S. 316, 328, 332, 344), ( 1773, S. 215, 224, 388, 395-399, 429, 436), die meistens den Dickdarm fallen lassen usw. Darüber hinaus zeigt die veröffentlichte Korrespondenz, dass Lagrange von Eulers Papieren Kenntnis hat (1750, 1762) und Buch (1770) "qui roule entièrement sur le calcul des fonctions", jeweils Oktober 1759, Januar oder Juni 1760 und April 1771.

5. Euler und Lagrange waren auch nicht allein in der Verwendung der Primschreibweise: z Monge ( 1773, S. 85), ( 1776, S. 268, 288, 298), ( 1786, S. 22), ( 1787, S. 87, 89, ..., 172-185), ( 1801, Nr. 8, 10, 14, 16, 33), Cousin ( 1777, S. 283), Marie ( 1793, S. 8, 18) ), Bossut ( 1798, S. 427) ,. .

Die Website mit den frühesten Verwendungszwecken, Cajori, wikipedia et al., scheint also weit davon entfernt zu sein, die ganze Geschichte zu erzählen.

Eulertitel (siehe Opera Omnia (2) Bd. 10, 11 ( 1947, 1957) und (3) Band 1 ( 1926)):
( 1749) E119: De vibratione chordarum übungat.
( 1750) E140: Sur la vibration des cordes.
( 1755) E213: Remarques sur les mémoires précedens de M. Bernoulli.
( 1762) E268: Lettre de M. Euler à M. de la Grange.
( 1764) E287: De motu vibratorio cordarum inaequaliter crassarum.
( 1766) E305: De la propagation du son .
( 1766) E306: Ergänzung zur Schallausbreitungsforschung.
( 1766) E307: Fortsetzung der Schallausbreitungsforschung.
( 1766) E317: Erläuterungen zur Bewegung vibrierender Saiten.
( 1766) E318: Untersuchungen zur Bewegung ungleichmäßig großer Saiten.
( 1766)) E319: Integrationsforschung $ \ smash {\ bigl (\ frac {ddz} {dt ^ 2} \ bigr) = aa \ bigl (\ frac {ddz} {dx ^ 2 } \ bigr) + \ frac bx \ bigl (\ frac {dz} {dx} \ bigr) + \ frac c {xx} z} $.
( 1767) E339: Sur le Bewegung einer Saite, die zunächst nur teilweise geschüttelt wurde.
( 1767) E340: Detailliertere Erläuterungen zur Erzeugung und Ausbreitung von Schall sowie zur Bildung von l'echo.
( 1770) E385: Institutionum calculi Integralis volumen tertium .
( 1773) E433: Digressio de traiectoriis tam orthogonalibus quam obliquangulis.
( 1773) E439: De chordis vibribibus disquisitio ulterior.
( 1773) E441: De mo tu vibratorio chordarum ex partibus quotcunque diversaecrassitiei compositarum.
( 1773) E442: De motu vibratorio chordarum crassitie utcunque variabili praeditarum.

Lagrange-Titel ( siehe Taton ( 1974):
( 1762) T6: Neue Forschung zur Natur und Ausbreitung von Schall.
( 1766) T11: Lösen verschiedener Integralrechnungsprobleme.
( 1770) T18: Neue Methode zur Lösung von Literalgleichungen mittels Reihen.
( 1774 ) T33: Über eine neue Art der Berechnung in Bezug auf die Differenzierung und Integration variabler Größen.
( 1797) T102: Theorie der analytischen Funktionen .
( 1801) T114: Lektionen zur Berechnung von Funktionen .

Dieser Fund von Euler mit $ f: x $ ist sehr schön. Insbesondere [dieser Satz] (https://latin.stackexchange.com/questions/6605/a-phrase-of-l-euler-on-functions) legt nahe, dass er $ f $ besser verstanden hat als einige von seine Nachfolger.
Nice find Francois.
Es ist ein Rätsel, warum dieses Buch von Euler so häufig ignoriert wird (z. B. von Cajori: * total *), obwohl es [5 Ausgaben + deutsche Übersetzung] (https://archive.org/stream/enestrom-test#page/) durchlaufen hat. n103) von 1770 bis * Opera Omnia * ([1914] (http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69601)). (Es ist auch schwer zu ergründen, warum Jourdain et al. Die Primzahlen von de Foncenex weiter bearbeiten, wobei Euler und Lagange genau dort im selben Band sind. Zeigt wahrscheinlich nur, wie gesegnet - oder verflucht? - wir mit fast allem Zugang haben.)
Interessantes Update. Sie schlagen vor, dass Lagrange möglicherweise die Terminologie "Abgeleitete Funktion" von Euler erhalten hat? (Dieser Satz von Euler ist auch bemerkenswert, da er im ersten Teil $ \ Psi, \ Phi $ Zeichen nennt, während er im zweiten Teil $ \ Psi ', \ Phi' $ Funktionen aufruft und subtil zum beliebten $ f = f beiträgt (x) $ Verwechslung.)
@FrancoisZiegler Diese Ergebnisse werfen für mich eine weitere Frage auf: Hat Euler jemals $ y '$ für $ dy / dx $ geschrieben, als $ y $ eine Funktion von $ x $ war? Oder war diese unglückliche (imo) Erfindung auf Lagrange zurückzuführen?
Ja, ich bin. Und ja, er tat es: E433, p. 215 (jetzt hinzugefügt) hat $ d \ mathrm X = \ mathrm X'dx $ und mit $ \ mathrm X = x ^ m $ $ \ mathrm X '= m.x ^ {m-1} $.
Mikhail Katz
2017-06-20 18:46:18 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Das ist ein interessanter Fund, aber beachten Sie, dass Euler hier immer noch über Unterschiede spricht. Er scheint $ f '$ als Ad-hoc-Notation für eine Hilfseinheit zu verwenden, die zur Beschreibung des Differentials verwendet wird, anstatt das Bild "$ f \ mapsto f' $" im Auge zu behalten. Lagrange führte das neue Konzept einer "abgeleiteten Funktion" ein, auch wenn er diese Notation von Euler entlehnt hatte.

Wenn Sie in Eulers Text ein paar Zeilen über dem Zitat nachsehen, stellen Sie fest, dass er $ f '$ und $ f' '$ genauso verwendet, wie wir es heute tun. Er wendet die Kettenregel sogar richtig an. In welchem ​​Sinne ist sein $ f '$ eine andere Entität als unsere "abgeleiteten Funktionen"?
Zu Lagrange: Ich bin mir nicht sicher, ob er ein anderes Bild im Sinn hatte als Euler. Die moderne Idee $ f \ mapsto f '$ betrachtet $ f $ als ein Objekt an sich, aber es scheint, dass vor Frege, Dedekind und Cantor niemand $ f $ explizit so gedacht hat. Eine Funktion wurde als eine Variable definiert, die sich mit einer anderen Variablen ändert, und nicht als Regel, die die Abhängigkeit ausdrückt. Siehe meine andere [Frage] (https://hsm.stackexchange.com/questions/6104)
Michael, Leibniz hat die Kettenregel auch richtig angewendet. Doch weder Leibniz noch Euler hatten eine Vorstellung von einem "Fonction Derivee" (Entschuldigung für das Fehlen diakritischer Symbole). Ich stimme zu, dass Dirichlet, Dedekind und andere eine abstraktere Vorstellung von einer Funktion entwickelten als Lagrange. Dennoch schreiben Historiker Lagrange im Allgemeinen den Begriff "Fonction Derivee" zu, obwohl er möglicherweise einen begrenzten Umfang hatte als der im 19. Jahrhundert entwickelte Begriff.
Euler hatte sicherlich den Begriff der abgeleiteten Funktion, obwohl er es vielleicht nicht so genannt hätte. In seinen Instituten calculi differentialis 1748 schreibt er: "Wenn y eine algebraische Funktion von x ist, dann ist dy / dx auch eine algebraische Funktion von x." Er berechnet dy / dx für alle Arten von Funktionen von x, nicht nur für algebraische.
Michael, ich teile deine Begeisterung für Eulers Genie sowie für Leibniz 'Genie. Beachten Sie, dass Leibniz auch über das Differentialverhältnis $ \ frac {dy} {dx} $ sprach. Ihre Behauptung, Euler habe den Begriff der abgeleiteten Funktion, wird jedoch nicht unterstützt.
Er nennt dy / dx explizit eine Funktion von x. Warum ist das kein Beweis für die Behauptung, er habe eine Vorstellung von einer abgeleiteten Funktion?
Als Randbemerkung: Ich denke nicht, dass Lagrange weniger genial ist.
Genau! Entschuldigung, hätte ihn von Anfang an einbeziehen sollen. Andererseits dürfte die Liste aller Genies in der Mathematik die räumlichen Grenzen eines HSM überschreiten * Kommentar * :-)
Lassen Sie mich klarstellen, was ich an Eulers Verwendung der Kettenregel hier bemerkenswert finde: Früher war sie nur als $ dz / dx = dz / dy \ cdot dy / dx $ geschrieben worden, jetzt verwendet er $ f $ und $ f ' $ -Notation, in einer Weise, die mit der modernen Verwendung übereinstimmt! Dies mag trivial erscheinen, kontrastiert es jedoch mit seiner ersten Verwendung der $ f $ -Notation in [E045] (http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e045tr.pdf) (1734), wo die Der gleiche Buchstabe $ f $ wurde für jede Funktion verwendet, auf die er stieß, auch wenn sie unterschiedlich waren. Diese Verwendung ist nicht mit der modernen Verwendung von $ f $ kompatibel.


ⓘ
Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
Loading...