Frage:
Was hat Cantor motiviert, die Mengenlehre zu erfinden?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ich kann mir Mathematik ohne Mengen nicht vorstellen, aber die Frage "Wie war Mathematik, bevor es Mengen gab" ist meiner Meinung nach nicht zu beantworten. Stattdessen sollte eine gute Antwort auf die Titelfrage einen bestimmten Aspekt der allgemeineren Frage abdecken.

Ich denke, eine Idee, die Grundlage der Mathematik zu finden, war ebenfalls im Spiel. Ob Cantor diesbezüglich neu ist, weiß ich nicht genau.
Ich weiß nicht, ob dieser Link bereits in diesem Thread bereitgestellt wird, aber ich denke, ich sollte ihn hier teilen. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Vielen Dank @ankit, es ist ein sehr schöner und absolut relevanter Artikel.
Natürlich kann man sich Mathematik ohne Mengen nicht vorstellen - Mathematik vor der formalen Mengenlehre ist nicht dasselbe wie "Mathematik vor Mengen". So wie * Algorithmen * für immer existierten, obwohl ihre Formalisierung nicht 150 Jahre alt ist, verwendeten die Leute immer Schnittpunkte von Sammlungen (* Mengen *) und so weiter.
Drei antworten:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Eine unmittelbare Motivation von Cantor, an der Theorie zu arbeiten, war seine frühere Arbeit an trigonometrischen Reihen. Um ein Problem in diesem Bereich zu lösen, betrachtete er die Menge (eine geschlossene Menge) von Nullen einer solchen Funktion, dann die abgeleitete Menge dieser Menge, die abgeleitete Menge dieser Menge und so weiter. Dies ist alles noch klassisch, musste dann aber einen Schritt darüber hinausgehen, um zuerst den Schnittpunkt all dieser Mengen und dann die abgeleitete Menge von dieser Menge und so weiter zu betrachten.

Also kam er zu transfiniten Ordnungszahlen.

Dies wird an verschiedenen Stellen diskutiert, darunter "Mengenlehre und Einzigartigkeit trogonometrischer Reihen" von Kechris oder " Eindeutigkeit trigonometrischer Reihen und deskriptive Mengenlehre, 1870–1985 "von Roger Cooke (Archiv für Geschichte der exakten Wissenschaften, 1993)

Das Originalpapier ist (glaube ich) " Über die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math Annalen, 1872) "

Eine weitere Motivation war seine frühere Arbeit zur Zahlentheorie. Mit dem heutigen Diagonalisierungsargument konnte er Ergebnisse zur Existenz transzendentaler Zahlen nachweisen. Dies steht in seiner Arbeit von 1874 "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen".

Kurz gesagt, die ursprüngliche Motivation bestand darin, bessere Werkzeuge zu haben für Fortschritte bei bestehenden Problemen.

Haben Sie Referenzen für den ersten Punkt?
Ich habe einige Referenzen hinzugefügt.
Neben den von Ihnen vorgeschlagenen Referenzen ist das Vorwort von Jourdain zu seiner Übersetzung von Cantors Mathematik der Standardort, um darüber zu lesen. Annalen Memoiren, [* Beiträge zur Gründung der Theorie der transfiniten Zahlen *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
Die detaillierteste Diskussion, die ich auf Englisch für Cantors trigonometrische Reihenarbeiten kenne, ist Daubens * Der trigonometrische Hintergrund zu Georg Cantors Mengenlehre *. In Bezug auf Cantor, der das Zählbarkeitsargument von den Rationalen auf die algebraischen Zahlen ausdehnte, stammte dies von Dedekind in Briefen an Cantor. Englische Übersetzungen der relevanten Briefe finden Sie auf den Seiten 844-850 von Ewalds Buch (Referenz ** [7] ** [hier] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on) -Infinity-Influence-Cantor)). Siehe auch S. 177-186 von Ferreirós '1999er Buch und seiner 1993er Historia Math. Papier.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Eigentlich arbeitete Cantor an einem bestimmten Problem aus der Theorie der trigonometrischen Reihe, dem sogenannten Eindeutigkeitsproblem (ich kann nicht genauer sein, bis MathJax auf dieser Site eingeführt wird). Dieses Problem führte ihn zur Berücksichtigung beliebiger Mengen auf der realen Linie. Ich meine kompliziertere Mengen als endliche Mengen oder endliche Vereinigung von Intervallen. Zu dieser Zeit gab es keine Werkzeuge und keine Terminologie, um beliebige Mengen zu untersuchen, daher musste all dies erstellt werden.

Im Verlauf dieser Studie erstellte er nicht nur die Mengenlehre, sondern auch die heutige allgemeine Topologie . (Es ist interessant festzustellen, dass das ursprüngliche Problem der trigonometrischen Reihen bis heute keine vollständige Lösung hat :-)

Die ursprüngliche Beweismethode, das sogenannte "diagonale Verfahren", geht auf Cantors Vorgänger zurück. Paul du Bois Reymond, der auch trigonometrische Reihen studierte.

Entschuldigung für die Auswahl, aber es ist das zweite Mal, dass ich es bemerke: MathJax nicht MathJack.
Das diagonale Verfahren trat auch in einer Umgebung auf, die nicht mit der Untersuchung trigonometrischer Reihen zusammenhängt. [Hier] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) sind einige Details. Und [hier] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) ist ein Zitat von Hardy, das vielleicht erklärt, warum du Bois-Reymond nicht besser bekannt ist.
Du liegst absolut richtig. Das diagonale Verfahren wurde für Fragen vom Typ "Ordnungen der Unendlichkeit" verwendet. Aber du Bois-Reymond hat auch Trig-Serien studiert, nur ein interessanter Zufall :-)
@quid: Danke! Sie können den Text tatsächlich bearbeiten, wenn Sie Druckfehler entdecken.
Leider habe ich hier noch nicht genügend Punkte zum Bearbeiten, und für vorgeschlagene Änderungen gibt es eine Zeichenbeschränkung.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Laut Cantor selbst war es sein Wunsch, die mechanische Erklärung der Natur durch eine vollständigere Theorie zu ersetzen. Siehe mehrere Aspekte in Was von Cantors Behauptungen ist wahr geworden??



Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
Loading...