Frage:
Waren Matrixtheorie und Funktionsanalyse den Physikern vor der Erfindung der Matrixmechanik bekannt?
Frobenius
2016-07-07 23:51:04 UTC
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Waren Matrixtheorie und -analyse den Physikern zwischen 1920 und 1925 bekannt? Haben Physiker diese Theorie in dieser Zeit ausgiebig genutzt? Die Frage bezieht sich auf die Diskussion in Wie kam Heisenberg auf die Matrixmechanik? Thread zu Physics SE

Fünf antworten:
#1
+5
Conifold
2016-07-08 09:26:52 UTC
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Man kann wahrscheinlich sagen, dass die relevanten Teile der Algebra "Experten bekannt" und nicht "bekannt" waren und die relevanten Teile der Funktionsanalyse zu diesem Zeitpunkt nicht existierten, siehe Moores Axiomatisierung der Linearität Algebra: 1875-1940.

Selbst endliche dimensionale Matrizen waren noch nicht genau Standard, obwohl Cayley die Definition der Matrixmultiplikation gab und bereits in den 1850er Jahren eine Spektraltheorie entwickelte, und Burali-Forti und Marcolongo veröffentlichten 1912 ein Buch mit dem Titel Transformations Lineaires, das mit folgendem beginnt: „ Wir haben kurz die Grundlagen der allgemeinen Theorie linearer Systeme und linearer Operatoren dargelegt. Im Allgemeinen sind diese Angelegenheiten zu einem großen Teil bekannt. “ Die Ideen begannen unter Physikern nach der Verwendung von Tensoren in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie zu versickern, und Weyls Buch über Raum, Zeit und Materie (1918) führt sogar axiomatische Vektorräume, innere Produkte und kongruenzerhaltende Transformationen in sie ein. Dass Born, der 1904 in Göttingen bei Hilbert und Minkowski studierte und 1921 dorthin zurückkehrte, mit Matrizen und linearen Transformationen vertraut war, ist daher nicht überraschend. Weder Rotationen noch Lorentz-Transformationen pendeln. Die Verbindung der Idee mit unendlichen Matrizen war jedoch mehr Analogie und physikalische Intuition als die Anwendung einer etablierten mathematischen Theorie. Es ist ebenso nicht verwunderlich, dass der junge Heisenberg nicht damit vertraut war. In seinem Papier von 1925 werden nicht einmal Matrizen erwähnt, siehe Heisenbergs „magisches“ Papier verstehen.

Hilbert führte den "Hilbert-Raum" in Verbindung mit Integralgleichungen ab 1904 ein, ohne sie jedoch geometrisch zu behandeln. Schmidt schrieb in einem Kapitel "Geometrie in einem Funktionsraum" (1908) " Für die geometrische Bedeutung der in diesem Kapitel entwickelten Konzepte und Theoreme bin ich Kowalewski dankbar. Es fällt noch deutlicher auf, wenn $ A (x) $ wird nicht als Funktion definiert, sondern als Vektor in einem Raum mit unendlich vielen Dimensionen ". Riesz kommt in seinem Buch (1913) über lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Variablen am nächsten, in dem er den Begriff der orthogonalen Basis einführt. In den Jahren 1920-1922 führten Hahn, Banach und Wiener normierte lineare Räume ein. In dieser Arbeit wurden Operatoren in unendlich dimensionalen Räumen jedoch nicht viel untersucht, geschweige denn als unendliche Matrizen dargestellt. Solche Themen tauchen erst nach 1927 in von Neumanns Werken auf und wurden von der Quantenmechanik motiviert.

Der zweite Teil von Schmidts Artikel befasst sich mit unendlich vielen Gleichungen in unendlich vielen Unbekannten. Die wichtigsten Ergebnisse werden in diesem Artikel von Bocher und Brand wiedergegeben: https://www.jstor.org/stable/1968085?seq=1#page_scan_tab_contents
#2
+4
Gerald Edgar
2016-07-08 02:00:04 UTC
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Ich habe vor langer Zeit einmal einen Vortrag von Heisenberg gehört. (Ein öffentlicher Vortrag am MIT in den frühen 1970er Jahren.)

Er bemerkte, dass er eine neue, seltsame Art der Multiplikation entwickelte (die nicht kommutativ war). Aber dann fanden seine Kollegen heraus, dass Mathematiker es bereits seit 100 Jahren verwenden. Wenn Heisenberg Memoiren schrieb, ist dies vermutlich auch dort.

Dies ist also eine Unterstützung für die Seite, die besagt, dass die Matrixmultiplikation Heisenberg nicht gut bekannt war.

#3
+3
Margaret Friedland
2016-07-09 06:24:43 UTC
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Während ihre Rezeption zwischen Cayleys Werken aus den 1840er und 1850er Jahren und der viel späteren Entwicklung von Vektorräumen und Funktionsanalysen eher langsam war, wurden Matrizen von Mathematikern des späten 19. und frühen 20. Jahrhunderts in Bezug auf komplexe Zahlen, Quaternionen, bilineare Formen, lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Elemente der Matrixtheorie erschienen in fortgeschrittenen Lehrbüchern und Monographien. Das Buch "Z historie linearni algebry" von Jind \ v rich Be \ v cva \ vr (Matfyzpress, Prag, 2007) erwähnt beispielsweise Folgendes, das vor 1925 erschien:

Ernesto Pascal: I determinanti. Teoria ed applyazioni (1897).

Eugen Otto Erwin Netto: Vorlesungen \ "über Algebra (1896); Elementare Algebra. Akademische Vorlesungen für das Studium des ersten Semesters (1904); Die Determinanten (1910).

Heinrich Weber: Lehrbuch der Algebra (2. Auflage, 1898-99).

Alfred North Whitehead: Abhandlung über die universelle Algebra (1898).

Leopold Kronecker: Vorlesungen \ "über die Theorie der Determinanten (1903).

Salvatore Pincherle: Lezioni di Algebra Complementare (1906-) 1909).

Maxime B \ ^ ocker: Einführung in die höhere Algebra (1907).

Cuthbert Edmund Cullis: Matrizen und Determinoide (1913, 1918, 1925).

Leonard Eugen Dickson: Algebren und ihre Arithmetik (1923).

Auf Polnisch gab es ein akademisches Lehrbuch von W \ l adys \ l aw Zaj \ c aczkowski "Die Prinzipien der höheren Algebra" (1884), in dem unter anderem die Theorie der Determinanten vorgestellt wurde und von algebraischen Gleichungen. Die Monographie von J'ozef Puzyna über analytische Funktionen (1898, 1900) enthielt auch eine Fülle von Materialien, darunter Resultierende und Diskriminanten, binäre Formen und die modulare Gruppe.

Es war nicht notwendig, vor 1925 nach Göttingen zu gehen, um sich mit der Matrixtheorie vertraut zu machen (anscheinend war es auch nicht ausreichend - Heisenberg studierte dort). In der Tat in In seinem Nobel-Vortrag 1954 "Die statistische Interpretation der Quantenmechanik" stellte Max Born ausdrücklich fest:

`` Dies war im Sommer 1925. Heisenberg, der von Heuschnupfen geplagt war, nahm eine Behandlung durch das Meer und gab mir sein Papier zur Veröffentlichung, wenn ich dachte, ich könnte etwas damit anfangen. Die Bedeutung der Idee war mir sofort klar und ich schickte das Manuskript an die Zeitschrift für Physik. Ich konnte es mir nicht vorstellen Nach einer Woche intensiven Denkens und Versuchens erinnerte ich mich plötzlich an eine algebraische Theorie, die ich von meinem Lehrer, Professor [Jakob] Rosanes, in Breslau gelernt hatte. Solche quadratischen Anordnungen sind Mathematikern und in Verbindung mit bekannt Eine spezielle Regel für die Multiplikation sind sogenannte Matrizen. "

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf.

#4
+3
Jan Peter Schäfermeyer
2017-02-15 22:54:56 UTC
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Zu dieser Zeit wurde Physikstudenten in Deutschland normalerweise keine lineare Algebra beigebracht, es sei denn, ihre Professoren hatten eine Affinität zu diesem Fach. Max Borns Lehrer war Jacob Rosanes, ein Algebraist, zu dessen Schülern Steinitz und Toeplitz gehörten. Heisenberg hingegen hatte bei Lindemann in München studiert. Perron kam erst 1922 nach München, als Heisenberg sein Studium fast beendet hatte. Göttingen war eine Ausnahme in Deutschland, und Heisenberg gab später an, er habe "Optimismus von Sommerfeld, Physik von Bohr und Mathematik in Göttingen" gelernt.

Hier ist eine Analyse von Heisenbergs Durchbruchspapier vom Juli 1925: https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009.pdf

Und hier sind Interviews mit Heisenberg und Born zu dieser Zeit: https: // www .aip.org / history-programme / niels-bohr-library / oral-histories / 4661-7 https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral -histories / 4522-3

#5
+2
Jean Marie Becker
2016-07-23 16:18:40 UTC
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In Frankreich wurde vor der Reform des Universitätsstudiums (nationaler Lehrplan) im Jahr 1958 keine lineare Algebra für den Abschluss "Lizenz" unterrichtet.

https://fr.wikipedia.org /wiki/Licence_(France)#1958-1966:_des_licences_moins_g.C3.A9n.C3.A9ralistes



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