Frage:
Gibt es schriftliche Quellen (19. Jahrhundert), die den Glauben zum Ausdruck bringen, dass die Zwischenwerteigenschaft der Kontinuität entspricht?
Andrés E. Caicedo
2014-10-29 12:13:53 UTC
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Wie im Titel gefragt:

Gibt es schriftliche Quellen (aus dem 19. Jahrhundert), die ausdrücklich die Annahme vertreten, dass eine Funktion, die die Zwischenwerteigenschaft erfüllt, stetig ist?

(Ich glaube nicht, dass es sinnvoll ist, nach früheren Quellen zu suchen, da der Begriff der Kontinuität selbst erst im 19. Jahrhundert rigoros gemacht wurde. Diese Frage entstand aus einer Antwort, die ich gegeben habe bei Math.Stackexchange. Was folgt, lehnt sich stark an diese Antwort an.)

Wenn ich ein Intervall bin und f: I → ℝ, sagen wir, dass f das hat Zwischenwerteigenschaft genau dann, wenn a ≠ b Punkte von I sind, wenn c zwischen f (a) und f (b) liegt, dann gibt es eine Anzeige zwischen a und b mit f (d) = c.

Bozen veröffentlichte 1817 seine Arbeit Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, das ein entgegengesetzes Ergebnis Rein analytischer Beweis des Satzes, dass zwischen zwei beliebigen Werten, die Ergebnisse mit entgegengesetztem Vorzeichen ergeben, mindestens eine echte Wurzel der Gleichung liegt). Dort beweist er, dass stetige Funktionen die Zwischenwerteigenschaft erfüllen. Wie er in der Arbeit angibt, wurde allgemein angenommen, dass der Satz wahr ist, und es wurden mehrere "geometrische" Argumente angeführt, um ihn zu rechtfertigen.

Andererseits wissen wir jetzt, dass die Zwischenwerteigenschaft ist weitaus schwächer als Kontinuität. Eine schöne Umfrage mit detaillierten Beispielen für Funktionen, die diskontinuierlich sind und dennoch die Zwischenwerteigenschaft haben, ist

I. Halperin, Diskontinuierliche Funktionen mit der Darboux-Eigenschaft , Can. Mathematik. Bull., 2 (2) (Mai 1959), 111-118.

In Halperins Artikel finden wir das amüsante Zitat

Bis zur Arbeit von Darboux im Jahr 1875 glaubten einige Mathematiker, dass die Eigenschaft [der Zwischenwert] tatsächlich die Kontinuität von f (x) implizierte.

Diese Behauptung wird an (vielen) anderen Stellen wiederholt. Zum Beispiel lautet hier

Im 19. Jahrhundert glaubten einige Mathematiker, dass die Eigenschaft [der Zwischenwert] der Kontinuität entspricht.

Dies ist sehr ähnlich zu dem, was wir in A. Bruckner, Differenzierung realer Funktionen , AMS, 1994, finden. Auf Seite 5 lesen wir

Einige Mathematiker des 19. Jahrhunderts glaubten, dass diese Eigenschaft der Eigenschaft der Kontinuität entspricht.

Wikipedia:

In der Vergangenheit wurde diese Zwischenwerteigenschaft als Definition für die Kontinuität von Funktionen mit realem Wert vorgeschlagen [Zitieren erforderlich].

Ich konnte keine direkte Quelle zum Ausdruck bringen dieser Glaube. Dass dies tatsächlich der Fall war, wird möglicherweise durch die folgenden zwei Zitate aus Gaston Darboux ' Mémoire sur les fonctions, , Ann. Sci. Scuola Norm. Sup., 4, (1875), 161–248. Zuerst lesen wir auf den Seiten 58-59:

Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on regarderait à bon droit comme évidents oder que l'on accorderait dans les Anwendungen der Wissenschaft aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une Kritik rigoureuse dans l'exposé des Vorschläge Verwandte aux fonctions les plus générales. Zum Beispiel setzt sich die Frage fort, ob es sich nicht um eine Croissante handelt oder ob es sich um ein Intervall handelt, und um eine Frage zu stellen, ob es sich um eine andere Art von Passant handelt, um die valeurs intermédiaires / p>

Darboux 'Arbeit beweist, dass Derivate die Zwischenwerteigenschaft haben und dass es diskontinuierliche Derivate gibt, wodurch zunächst überprüft wird, dass die beiden Begriffe nicht äquivalent sind. (Aus diesem Grund wird die Zwischenwerteigenschaft manchmal als Darboux-Eigenschaft bezeichnet, oder man sagt sogar, dass eine Funktion mit dieser Eigenschaft Darboux-stetig em ist >.)

Der Beweis, dass Ableitungen die Zwischenwerteigenschaft haben, beginnt auf Seite 109, wo wir lesen:

En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions stellt die qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comme le caractère ein, wenn die Funktion weiter besteht / blockquote>

Wikipedia erwähnt Folgendes:

Bevor die formale Definition der Kontinuität gegeben wurde, wurde die Zwischenwerteigenschaft als Teil der Definition von a angegeben kontinuierliche Funktion. Zu den Befürwortern gehört Louis Arbogast, der davon ausgegangen ist, dass die Funktionen keine Sprünge aufweisen, die Zwischenwerteigenschaft erfüllen und Inkremente aufweisen, deren Größe den Größen der Inkremente der Variablen entspricht.

Der Artikel zitiert diese Seite, obwohl ich dies nicht anhand der Schriften von Arbogast (oder der verlinkten Seite) überprüfen konnte. In der Tat scheint Arbogast einen Funktionsbegriff zu haben, der wesentlich restriktiver ist als unser moderner Begriff der Kontinuität, und daher gilt dort der Zwischenwertsatz. Ich sehe nicht, dass er die Zwischenwerteigenschaft direkt anspricht oder darauf hinweist, dass dies Kontinuität impliziert. (Angesichts seines Verständnisses, was eine Funktion ist, bin ich mir nicht einmal sicher, ob dies sinnvoll gewesen wäre.)

Lassen Sie mich abschließend fragen:

Wenn es tatsächlich nicht so ist, dass der Glaube an die Gleichwertigkeit dieser beiden Begriffe in der Literatur ausdrücklich angegeben wurde, woher stammt dann die falsche Behauptung? (Ist es in Halperins Zeitung?)

Ich wurde kürzlich auf [MR0165049 (29 # 2340)] aufmerksam gemacht (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=165049). Valabrega, Elda Gibellato. * Il teorema di esistenza degli zeri delle funzioni weiterhin nell'analisi moderna *. Atti Accad. Sci. Turin Cl. Sci. Fis. Matte. Natur. ** 98 ** 1963/1964 437–444. Das Papier scheint sich zumindest teilweise mit genau dieser Frage zu befassen. Ich werde dies zu einer Antwort erweitern, sobald ich das Papier sorgfältig gelesen und seine Relevanz bestätigt habe.
Drei antworten:
#1
+10
VicAche
2014-11-03 03:13:10 UTC
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Eine Antwort auf Ihre Frage könnte sein, dass die Trennung tatsächlich ziemlich spät kam. Wikipedia behauptet, dass "frühere Autoren das Ergebnis für intuitiv offensichtlich hielten und keinen Beweis benötigten." Bis die Kontinuität von Bozen und Cauchy formalisiert wurde, halte ich es daher nicht für sinnvoll, Beweise zu finden. Wir müssen also nach Leuten suchen, die Bozen oder Cauchy lesen und glauben, dass die Zwischenwerteigenschaft der Kontinuität entspricht.

Wie Sie bereits in Ihrer Frage dargelegt haben, hat Darboux 1875 gezeigt, dass Sie den Satz überprüfen können, ohne es zu sein kontinuierlich. Dies lässt ein kleines Fenster - 1817-1875 - für veröffentlichte Absurditäten.

Und hier kommt Darboux selbst.

La propriété précédente a souvent étée Prize für die Definition der Funktionen wird fortgesetzt

, was übersetzt:

Der oben genannte Satz wurde häufig mit der Definition der kontinuierlichen Funktion

Damit ist Ihre zweite Frage beantwortet: Wenn keine vorherigen Beweise gefunden werden können, hat Darboux selbst die Behauptung aufgestellt, dass der Fehler vor seiner eigenen Arbeit weit verbreitet war.

In der Einleitung desselben Memoires stellt Darboux fest, dass M. Hankels Arbeit von 1870 in Bezug auf Riemanns Memoire war nicht vorwurfslos, aber es ist nicht klar, ob er an dieser Stelle über die Existenz einer Ableitung für alle Funktionen oder den Zwischenwertsatz spricht. Ich glaube, jemand, der bereit ist, Beweise für eine Verwirrung zu finden, könnte sich mit M. Hankels Werk befassen, aber ich konnte das von Darboux beschriebene Papier nicht finden.

Ja Dankeschön. Ich bin damit einverstanden, dass nur Artikel nach Bozen und vor Darboux relevant erscheinen. Ich habe auch in der Frage darauf hingewiesen, dass Darboux vorschlägt, dass der Fehler "häufig" war (die beiden von mir gewählten Zitate sollten dies veranschaulichen). Ich habe auch Hankels Artikel nicht gesehen; Ich werde sehen, ob ich in den nächsten Tagen eine Kopie bekommen kann.
#2
+4
Ben Crowell
2015-10-20 20:44:44 UTC
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Dies ist keine wirkliche Antwort, aber zu lang, um in einen Kommentar zu passen. Die Frage setzt voraus, dass es nach Definitionen des 19. Jahrhunderts falsch ist, dass die Zwischenwerteigenschaft Kontinuität impliziert. Mir ist alles andere als klar, dass dies der Fall war.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Definition der Funktion zu formulieren. Drei Beispiele wären, den Begriff als Formel zu definieren, Punktmengenbegriffe zu verwenden oder wie bei der modernen glatten Infinitesimalanalyse (SIA) vorzugehen. Soweit ich dem WP-Artikel " Geschichte des Funktionskonzepts" entnehmen kann, wurde die Point-Set-Version erst im 20. Jahrhundert vollständig entwickelt und allgemein akzeptiert.

Wenn wir ein Gegenbeispiel zu der Behauptung haben, dann haben wir für jedes echte $ y $ eine Menge $ S_x $ von $ x $ Werten, die den Rationalen entsprechen, wobei alle $ S_x $ disjunkt sind und in einem endlichen Intervall liegen . Dies entspricht einem Beweis, dass $ \ mathbb {R} $ gleich $ \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Q} $ ist. Dies erfordert mindestens Folgendes:

(1) Wir akzeptieren die Existenz von Funktionen, die überall diskontinuierlich sind.

(2) Wir akzeptieren die kantorianische Analyse von Unendlichkeiten.

Dies sind beide wichtige philosophische Entscheidungen , keine unvermeidlichen Wahrheiten. # 1 ist zum Beispiel in SIA falsch. # 2 war am Ende des 19. Jahrhunderts sehr kontrovers.

Ich denke, ein besserer Weg, die Frage zu stellen, könnte eher so sein: zu welchem ​​Zeitpunkt im 19. oder Hat sich im 20. Jahrhundert ein ausreichender Konsens über Definitionen und Philosophie entwickelt, um nach den Standardentscheidungen falsch zu machen, dass die Zwischenwerteigenschaft Kontinuität impliziert?

#3
  0
Michael
2019-06-14 01:34:34 UTC
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Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, wie irgendjemand im 19. Jahrhundert hätte denken können, dass Zwischenwerteigenschaft Kontinuität impliziert. Nehmen Sie $ y (x) = 0 $ span>, wenn $ x = 0 $ span> und $ y = sin (1 / x) $ span> andernfalls und Sie haben Ihr Gegenbeispiel.

Ich vermute, dass Funktionen, die durch Fallanalysen auf der Realität definiert wurden, ziemlich spät berücksichtigt wurden. Kennt jemand Details?


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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