Ich empfehle einen ausgezeichneten Bericht von Luzin im Monthly: MR1615544, MR1613935 (American Math Monthly 105 (1998), 1 59-67 und 3, 263-270.
Es wird normalerweise übersehen, dass dort In der modernen Mathematik gibt es tatsächlich mehrere verschiedene Funktionsbegriffe. Eine ist die Dirichlet-Definition, die normalerweise zitiert wird (wobei zwei Mengen X und Y gegeben werden und eine Regel, die jedem Element von X ein Element von Y entspricht. Beachten Sie, dass X ist ein Teil der Definition!
Das Problem vom Typ "Finde die Domäne von $ \ log ((x-1) (x-2)) $ macht daher keinen Sinn Definition.
Im 18. Jahrhundert verstand Euler eine Funktion als einen analytischen Ausdruck, dessen Domäne nicht im Voraus angegeben wurde. Dieser andere Begriff (von Dirichlets Definition) ist nicht "veraltet". Er entwickelte sich zu einem modernen Definition einer "analytischen Funktion". Grob gesagt hat ein "analytischer Ausdruck" eine "natürliche Definitionsdomäne", die nicht im Voraus angegeben wird. Und Probleme des Typs "finden die Domäne o f Definition "einer analytischen Funktion ist in der modernen Mathematik vollkommen sinnvoll.
Es gibt auch andere Begriffe von Funktionen in der modernen Mathematik (verallgemeinerte Funktionen oder Verteilungen), die ebenfalls nicht in die Dirichlet-Definition passen. Darüber hinaus sind diese verallgemeinerten Funktionen in gewisser Weise näher an dem, was Physiker und Ingenieure unter einer Funktion verstehen, als die Dirichlet-Definition.