Frage:
Konzept einer Funktion und Idee einer Formel als Funktion
Kenny LJ
2014-11-04 21:52:26 UTC
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Enderton Elemente der Mengenlehre , p. 43 (1977, Academic Press) schreibt:

Es gab eine Zurückhaltung, das Konzept einer Funktion selbst von der Idee einer schriftlichen Formel zu trennen, die die Funktion definiert.

Was ist die Grundlage für den obigen historischen Anspruch? Und ab wann wurde das Konzept einer Funktion selbst von der Idee einer Formel fest getrennt?

Es scheint interessant, dass das, was heute als elementarer Fehler angesehen wird, eine starke historische Grundlage hatte.

Vollständigeres Zitat von Enderton:

Enderton, p. 43

Diese Frage wurde ursprünglich bei Math.SE gestellt.

Soweit ich weiß, gibt es keine Grundlage für die Vorstellung, dass es im wahrsten Sinne des Wortes "Zurückhaltung" gab. Ich glaube, niemand hat sich jemals aktiv gegen die Verallgemeinerung des Konzepts gewehrt.
@JackM Trotzdem denke ich, dass dahinter eine interessante Geschichte steckt. Ich erinnere mich an einen berühmten Mathematiker, der den formalen Begriff einer Funktion einführte, ziemlich viel später, als ich erwartet hatte (aber ich kann mich nicht an die Details erinnern).
Vier antworten:
#1
+8
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-04 22:35:20 UTC
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Sie können Verlauf des Funktionskonzepts sehen.

Für Euler (1748):

ist eine Funktion einer variablen Größe eine analytischer Ausdruck, der in irgendeiner Weise aus der variablen Menge und den variablen Zahlen oder konstanten Mengen

besteht, d. h Eine Funktion war ein „symbolischer Ausdruck“, der mit einem Wert als „Eingabe“ einen entsprechenden „Ausgabewert“ berechnen konnte.

Es scheint, dass er sich in Dirichelet (1837, Seite 135) befindet ), dass wir die erste explizite Definition des Funktionsbegriffs als „willkürliche Koespondenz“ finden können:

Wenn jetzt ein eindeutiger endlicher $ y $ span> entspricht jedem $ x $ span> und darüber hinaus so, dass wenn $ x $ reicht kontinuierlich über das Intervall von $ a $ span> bis $ b $ span>, $ y = f (x) $ span> variiert ebenfalls kontinuierlich, dann wird $ y $ span> für dieses Intervall als kontinuierliche Funktion von x bezeichnet.

Hier ist es überhaupt nicht erforderlich, dass $ y $ span> in Form von angegeben wird $ x $ span> durch ein und dasselbe Gesetz das gesamte Intervall, und es ist nicht erforderlich, dass es als eine Abhängigkeit betrachtet wird, die unter Verwendung mathematischer Operationen [Hervorhebung hinzugefügt] ausgedrückt wird.

#2
+7
Alexandre Eremenko
2014-11-05 08:48:19 UTC
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Ich empfehle einen ausgezeichneten Bericht von Luzin im Monthly: MR1615544, MR1613935 (American Math Monthly 105 (1998), 1 59-67 und 3, 263-270.

Es wird normalerweise übersehen, dass dort In der modernen Mathematik gibt es tatsächlich mehrere verschiedene Funktionsbegriffe. Eine ist die Dirichlet-Definition, die normalerweise zitiert wird (wobei zwei Mengen X und Y gegeben werden und eine Regel, die jedem Element von X ein Element von Y entspricht. Beachten Sie, dass X ist ein Teil der Definition!

Das Problem vom Typ "Finde die Domäne von $ \ log ((x-1) (x-2)) $ macht daher keinen Sinn Definition.

Im 18. Jahrhundert verstand Euler eine Funktion als einen analytischen Ausdruck, dessen Domäne nicht im Voraus angegeben wurde. Dieser andere Begriff (von Dirichlets Definition) ist nicht "veraltet". Er entwickelte sich zu einem modernen Definition einer "analytischen Funktion". Grob gesagt hat ein "analytischer Ausdruck" eine "natürliche Definitionsdomäne", die nicht im Voraus angegeben wird. Und Probleme des Typs "finden die Domäne o f Definition "einer analytischen Funktion ist in der modernen Mathematik vollkommen sinnvoll.

Es gibt auch andere Begriffe von Funktionen in der modernen Mathematik (verallgemeinerte Funktionen oder Verteilungen), die ebenfalls nicht in die Dirichlet-Definition passen. Darüber hinaus sind diese verallgemeinerten Funktionen in gewisser Weise näher an dem, was Physiker und Ingenieure unter einer Funktion verstehen, als die Dirichlet-Definition.

Für alle Interessierten habe ich eine Liste mit 12 Artikeln über die Entwicklung der Funktionsidee in meiner Antwort auf die mathematische StackExchange-Frage [Wie lautete die Notation für Funktionen vor Euler?] (Http://math.stackexchange.com/questions/) veröffentlicht. 79613 / Was-war-die-Notation-für-Funktionen-vor-Euler).
Ich kenne nicht alle diese Artikel, aber die meisten. Sie erzählen Ihnen nicht die Geschichte nach der Mitte des 19. Jahrhunderts. Und das Konzept der Funktion wurde im 20. Jahrhundert grundlegend entwickelt und modifiziert.
@AlexandreEremenko: Haben Sie einen Verweis darauf, wo Dirichlet eine Funktion definiert, die aus einer Regel besteht, die eine Entsprechung zwischen Mengen ergibt? In den Definitionen von Dirichlet, die ich gesehen habe, nennt er $ y $ die Funktion (von $ x $).
#3
+1
Kenny LJ
2016-03-27 08:10:55 UTC
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Nur um hinzuzufügen. Stephen Abbott (in S.7 von Understanding Analysis ) gibt nach einer modernen Standarddefinition der Funktion Folgendes an:

Diese Definition der Funktion ist mehr oder weniger die eine von Peter Lejeune Dirichlet (1805–1859) in den 1830er Jahren vorgeschlagene. Dirichlet war ein deutscher Mathematiker, der einer der führenden Akteure bei der Entwicklung des rigorosen Ansatzes für Funktionen war, die wir übernehmen werden. Seine Hauptmotivation war es, die Probleme im Zusammenhang mit der Konvergenz von Fourier-Reihen zu lösen. Dirichlets Beiträge spielen eine wichtige Rolle in Abschnitt 8.3, in dem eine Einführung in die Fourier-Reihe vorgestellt wird. Wir werden jedoch auch in mehreren früheren Kapiteln auf seinen Namen stoßen. Was im Moment wichtig ist, ist, dass wir sehen, wie Dirichlets Definition der Funktion den Begriff von seiner Interpretation als eine Art "Formel" befreit. In den Jahren vor Dirichlets Zeit wurde der Begriff „Funktion“ allgemein so verstanden, dass er sich auf algebraische Entitäten wie $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ oder $ g (x) = \ sqrt {x ^ 4 + bezieht 4} $. [Die obige Definition] ermöglicht ein viel breiteres Spektrum von Möglichkeiten.

#4
+1
Michael Bächtold
2018-01-11 15:06:47 UTC
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Ich denke nicht, dass es so eindeutig ist, wie die populäre Meinung ("Euler dachte nur an symbolische Ausdrücke, während Dirichlet die moderne Definition gab") uns glauben macht. Betrachten Sie zum Beispiel diese Definition von Funktionen aus Eulers späterer Arbeit, Institutiones calculi differentialis , 1755, Vorwort p.VI ::

Also wann Einige Größen hängen so stark von anderen Größen ab, dass, wenn die letzteren geändert werden, die ersteren geändert werden, die ersteren Größen als Funktionen der letzteren bezeichnet werden. Diese Definition ist ziemlich weit verbreitet, und alle Arten, in denen eine Größe von anderen bestimmt werden könnte, sind darin enthalten. Wenn daher $ x $ eine variable Größe bezeichnet, werden alle Größen, die in irgendeiner Weise von $ x $ abhängen oder von ihm bestimmt werden, als Funktionen davon bezeichnet.

Beispiele sind $ x ^ {2 } $, das Quadrat von $ x $ oder andere Potenzen von $ x $, und sogar Mengen, die mit diesen Kräften in irgendeiner Weise zusammengesetzt sind, sogar Transzendentale im Allgemeinen, was auch immer auf diese Weise von $ x $ abhängt Wenn $ x $ zunimmt oder abnimmt, ändert sich die Funktion. Aus dieser Tatsache ergibt sich eine Frage; Wenn nämlich die Menge $ x $ erhöht oder verringert wird, um wie viel wird die Funktion geändert, ob sie erhöht oder verringert wird?

Meiner Meinung nach unterscheidet sich dies nicht wesentlich von dem, was Dirichlet gesagt hat .

Außerdem sprach Dirichlet nie von Mengen oder der Domäne oder Codomäne einer Karte, noch nannte er die "Regel" die Funktion, wie es die moderne Definition in allen Büchern tut. Siehe auch Wer hat das $ f $ in $ f (x) $ zuerst als Objekt an sich betrachtet und wer hat beschlossen, es als Funktion zu bezeichnen?



Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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