Frage:
Aufteilung der Kreis- und Kompasskonstruktionen
Alexandre Eremenko
2014-11-07 08:46:56 UTC
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Es ist bekannt, dass jede Konstruktion, die von einem Kompass und einem Lineal ausgeführt werden kann, auch nur von einem Kompass ausgeführt werden kann. Dies ist eine gute (und schwierige) Übung in elementarer Geometrie. Meine Frage:

Wann haben Mathematiker begonnen, diese Frage zu untersuchen?

Die mir bekannte Literatur zu diesem Thema stammt aus dem 19. und 20. Jahrhundert. Ich weiß jedoch auch, dass es eine Zeit gab, in der diese Frage ernsthafte praktische Anwendungen hatte. Und das war viel früher (bis zur zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts).

Die praktische Anwendung, über die ich spreche, ist die folgende. Seit dem 16. Jahrhundert haben Astronomen begonnen, Winkel mit hoher Genauigkeit zu messen. Dafür verwendeten sie geteilte Kreise aus Metall (Bronze, Messing). Die Kreise wurden in Bruchteile einer Minute geteilt. Wie haben Sie das gemacht? (Diejenigen, die es nie versucht haben, denken vielleicht, dass dies eine triviale Aufgabe ist, aber es ist nicht so). Enzyklopädien des späten 18. Jahrhunderts enthalten lange Artikel mit dem Titel "Teilung des Kreises", in denen ausführlich erläutert wird, wie dies geschehen ist und wie die Geschichte des Unternehmens aussieht. Es gibt auch Literatur, die von einigen dieser Meisterteiler geschrieben wurde.

Ein Merkmal der Aufgabe ist, dass man für Konstruktionen mit sehr hoher Genauigkeit kein Lineal verwenden kann. Einer dieser Meister bringt es klar zum Ausdruck: "Mit einem Lineal kann man keinen Schnittpunkt zweier Linien finden". Sie verwendeten einen Kompass, der ein viel genaueres Instrument ist. Selbst die Teilung eines geraden Lineals wurde mit einem Kompass mit sehr großem Radius durchgeführt.

In der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts endete dieser edle Handel plötzlich : Es wurde eine Teilungsmaschine erfunden, mit der ein Instrumentenkreis hunderte Male schneller als von Hand geteilt werden konnte.

Bemerkung. Es ist eine weitere interessante Frage: Inwieweit konnten sie dies in der Antike tun? Es gibt EINEN archäologischen Fund, der zeigt, dass dieses Geschäft in der hellenistischen Welt existierte: Es ist der Antikythera-Mechanismus.

BEARBEITEN (nach der Antwort von Uri Zarfaty). Ich habe von diesem Problem aus den Schriften von Bird erfahren, einem berühmten Instrumentenbauer, einem "Meisterteiler", wie sie ihn nannten. Er erklärte: "Sie können den Schnittpunkt zweier Linien mit einem Lineal nicht finden." Er meinte, "dies ist in der Praxis mit ausreichend hoher Präzision unmöglich". Jetzt erfahren wir, dass genau dieser Vogel in der Einleitung von Masceronis Artikel erwähnt wird! Meine Vermutung ist also richtig! Bird lebte lange genug, um die Erfindung der Trennmaschine zu sehen, die seine edle Kunst überflüssig machte.

Sie fragen also nach der Geschichte expliziter Versuche, den Satz "Jede Geradkanten- und Kompasskonstruktion kann nur mit Kompass ausgeführt werden" zu beweisen oder zu widerlegen?
Mein Hauptanliegen ist, ob es einen Zusammenhang zwischen diesem Theorem und der von mir erwähnten praktischen Anwendung gibt. Das Datum, an dem Mathematiker dieses Problem zum ersten Mal in Betracht zogen, kann jedoch zur Lösung der Hauptfrage beitragen.
Einer antworten:
#1
+7
Uri Granta
2015-03-02 00:19:59 UTC
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Der Satz, dass jede Kompass- und Linealkonstruktion nur von einem Kompass ausgeführt werden kann, wird als Mohr-Mascheroni-Theorem bezeichnet. Es wurde erstmals vom dänischen Mathematiker Georg Mohr (1640-1697) in 1672 beschrieben. Mohrs Beweis ging jedoch bis 1928 verloren und der Satz wurde vom italienischen Mathematiker Lorenzo Mascheroni in 1797 unabhängig bewiesen.

Mascheronis Interesse an dem Problem wurde tatsächlich durch Ad-hoc-Kompasskonstruktionen inspiriert, die zu dieser Zeit nur für astronomische Quadranten verwendet wurden. Zitat aus Dictionary of Scientific Biography :

"Im Vorwort erzählt Mascheroni die Entstehung seiner Arbeit. Er war zunächst bewegt von dem Wunsch, einen Beitrag zur elementaren Geometrie zu leisten Ihm kam der Gedanke, dass Lineal und Kompass vielleicht getrennt werden könnten, wie Wasser in zwei Gase kann, aber er wurde von Zweifeln und Ängsten befallen, die oft mit Nachforschungen einhergingen. Dann las er zufällig einen Artikel über den Weg von Graham und Bird [der Maupertuis Instrumente lieferte] hatte ihren großen astronomischen Quadranten geteilt, und er erkannte, dass die Teilung nur durch Kompass vorgenommen worden war, allerdings durch Versuch und Irrtum ermutigte ihn und er setzte seine Arbeit mit zwei Zielen fort: eine theoretische Lösung für das Problem der Konstruktionen allein mit Kompass zu geben und praktische Konstruktionen anzubieten, die bei der Herstellung von Präzisionsinstrumenten hilfreich sein könnten. Das zweite Anliegen wird in den kurzen Lösungen gezeigt von vielen spezifischen Problemen und in einem Kapitel über ungefähre Lösungen. "

In dieser Zusammenfassung wird darauf hingewiesen, dass das Problem der Ausführung geometrischer Konstruktionen unter zusätzlichen Einschränkungen zuvor auch von "da Vinci, Dürer, Cardano und Tartaglia ua" berücksichtigt wurde. . Ich weiß jedoch nicht, ob diese zu explizit mit astronomischer Forschung zusammenhängen.

Toll!! Meine Vermutung ist also richtig! Und sogar Birds Name wird ausdrücklich erwähnt (er war der größte Meister der Teilung von Bögen für astronomische Instrumente). Ich frage mich, ob die Papiere von Mohr und Masceroni verfügbar sind.
Mascheranos La Geometria del Compasso kann unter https://archive.org/details/lageometriadelc01mascgoog gelesen werden (oder über den letzten Link in der Antwort für 1.200 € gekauft werden).
Mohrs Eukliden Danicus können (auf Niederländisch) unter https://books.google.co.uk/books?id=9SRcAAAAcAAJ gelesen werden.
Ein bequemerer Link zum Durchsuchen des Mascherano ist möglicherweise http://books.google.com/books?id=Me1EAQAAMAAJ.


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