Die Tensorrechnung wurde etwa 20 Jahre vor der allgemeinen Relativitätstheorie von Ricci und Levi-Civita ab 1890 unter dem Namen der absoluten Differentialrechnung entwickelt. Es wurde durch Riemanns Arbeit an Mannigfaltigkeiten mit einer Metrik motiviert und in ihrem umfassenden Buch von 1900 zusammengefasst. Einstein erfuhr davon 1912 von einem Geometer-Freund Grossman und sah darin ein gutes Mittel, um seine neuen Ideen zur Geometrisierung der Mechanik auszudrücken. Er brauchte zwei Jahre Korrespondenz mit Levi-Civita, um die Techniken zu beherrschen. Er trug sogar einige Vereinfachungen bei, wie die Verwendung von oberen und unteren Indizes und die Summationskonvention. Die Koordinatentensorrechnung widersprach jedoch im Prinzip Einsteins Vorstellungen von Relativitätstheorie und allgemeiner Kovarianz, da sie auf lokalen Koordinaten beruhte.

Die invariante Wendung ist mit der Arbeit von Elie Cartan verbunden 1920 über die Integrierbarkeit sogenannter Pfaffian-Systeme, wo er Differentialformen als alternative koordinatenfreie Notation entwickelte. In 1950 verwendete Kozsul es, um nicht-tensorielle Objekte wie Christoffell-Symbole aus der Theorie der kovarianten Differenzierung zu entfernen, und in den 1950er-Jahren folgte die rasche Übernahme von Differentialformen durch viele Mathematiker . Aufgrund des Bourbaki-Projekts wurde es zum Standard. Der Ausdruck "Ausschweifung von Indizes" gehört ihnen und zeigt uns, wie sie sich über die Koordinatenrechnung fühlten.

Ein Teil davon ist, dass die koordinatenfreie Notation "natürlicher" ist, da es keine globale Auswahl von Koordinaten auf Mannigfaltigkeiten gibt. Ein Teil davon ist algebraische Eleganz, die sauberere und konzeptionellere Beweise in der Geometrie ermöglicht. Ein weiterer Teil ist, dass es sehr gut zum Rahmen der algebraischen Topologie passt, der in den 1950er Jahren intensiv verfolgt wurde, insbesondere zur DeRham-Kohomologie und zur Theorie der charakteristischen Klassen. Ein Teil davon, insbesondere später, ist der starke Einfluss von Bourbaki auf die Standardisierung der Mathematik im Allgemeinen.

Physiker, die sich häufiger für Berechnungen als für Beweise interessieren, wurden mit der invarianten Notation nie vollständig verkauft und verwenden weiterhin Indizes daneben. Nach der Veröffentlichung des Yang-Mills-Papiers im Jahr 1954 und der Erkenntnis, dass Eichfelder intrinsische Verbindungsformen sind, die bereits von Mathematikern untersucht wurden, investierten viele Physiker in das Erlernen beider Sprachen, um ihre Gegenstücke zu verstehen. Auch die Ideen der Eichinvarianz und der allgemeinen Kovarianz werden durch invariante Konzepte und Techniken deutlicher ausgedrückt.

Es beginnt mit Riemanns Vortrag in Göttingen im Jahr 1854, Über die Hypothese welche der Geometrie zu Grunde liegen ". Hier ist eine englische Übersetzung:

http://www.emis.de/ classics / Riemann / WKCGeom.pdf

Wie Paul Siegel sagte, gab die Gaußsche Theorie der Oberflächen und der Lobachevski-Geometrie eine gewisse Motivation. Als weitere Motivation kann man Riemanns Arbeit in der mathematischen Physik (Wärmeleitung) erwähnen in Festkörpern).

Ich meine seine Arbeit mit dem Titel "Eine mathematische Arbeit, die versucht, die Frage der angesehensten Akademie von Paris zu beantworten", Nummer XXII in seinen gesammelten Arbeiten. Diese Arbeit ist ein Vorgänger des Tensors Analyse.

Kurz gesagt, die Motivation ist folgende: Wenn Sie eine Oberfläche betrachten, können Sie sich immer vorstellen, dass sie zumindest lokal eingebettet oder eingetaucht ist. Bei 3-D- und höherdimensionalen Räumen hilft dies jedoch nicht Ein frühes Beispiel hierfür ist die Lobachevski-Geometrie in Dimension 3.

Motivation f oder die Gaußsche Theorie der Oberflächen war Geodäsie.

Ich habe keine Referenzen zur Hand, aber ich glaube, die intrinsische Geometrie begann mit Gauß 'Theorema Egregium, das behauptet, dass die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche an einem Punkt nur von der intrinsischen Metrik in einer Nachbarschaft dieses Punktes abhängt und nicht bei der Einbettung der Oberfläche (mit anderen Worten, sie ist unter lokaler Isometrie unveränderlich). Dies ist etwas überraschend, da die Hauptkrümmungen (die entlang von Kurven in der Oberfläche gemessen werden) sehr stark von der Einbettung abhängen. Gauß 'Beobachtung legt nahe, dass es möglich - und wünschenswert - ist, eine Sprache zur Beschreibung der Geometrie von Oberflächen zu haben, ohne auf eine ausgewählte Einbettung Bezug zu nehmen. Ich denke, dies hat die Entwicklung der metrischen und Krümmungstensoren motiviert.

Die hyperbolische Geometrie spielt auch in dieser Geschichte eine wichtige Rolle. Das parallele Postulat war Gauß sehr wichtig, als er über die Krümmung und die Geometrie von Oberflächen nachdachte, und es gibt Hinweise darauf, dass er die Axiome der hyperbolischen Geometrie einige Jahre vor Lobachevsky niederschrieb, sich jedoch entschied, sie nicht zu veröffentlichen. Höchstwahrscheinlich hielt er es geheim, weil er kein Modell für die hyperbolische Ebene konstruieren konnte und daher nicht davon überzeugt war, dass er gezeigt hatte, dass nichteuklidische Geometrie nach den damaligen Maßstäben "existiert". Das Problem ist, dass man die hyperbolische Ebene nicht in $ \ mathbb {R} ^ 3 $ einbetten kann, obwohl man dies gewissermaßen lokal tun kann; man braucht also eine geometrische Sprache, in der ein globales Objekt aus gut verstandenen lokalen Objekten zusammengesetzt wird. Die Theorie der Riemannschen Oberflächen war ein erster Schritt in diese Richtung, aber vielleicht wurden die euklidische Geometrie und die hyperbolische Geometrie erst auf die gleiche Grundlage gestellt, als die Sprache der Riemannschen Mannigfaltigkeiten erfunden wurde.