Frage:
Wer hat das Prinzip der mathematischen Induktion zum ersten Mal eingeführt?
albo
2014-11-20 00:47:06 UTC
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Können Sie mir den Namen des Mathematikers nennen, der das Prinzip der mathematischen Induktion zum ersten Mal eingeführt hat? (mit zuverlässiger Quelle).

Bitte sagen Sie nicht De Morgan, weil ich irgendwo den Namen des Mathematikers gelesen habe, aber vergessen habe.

[Dieser sci.math-Beitrag vom 16. Januar 2007] (http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5487150) enthält einige Auszüge aus den von mir aufgelisteten Referenzen, die von Interesse sein könnten.
Fünf antworten:
#1
+21
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-21 18:25:11 UTC
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Das Problem ist heikel ...

Laut Morris Kline Mathematisches Denken von der Antike bis zur Moderne. Band I (1972), Seite 272 [einziger Eintrag des Subject Index in Bezug auf: mathematische Induktion ]:

The Die Methode wurde von Maurolycus in seiner Arithmetica von 1575 ausdrücklich anerkannt und von ihm verwendet, um beispielsweise zu beweisen, dass $ 1 + 3 + 5 + \ ldots + (2n + 1) = n ^ 2 $. Pascal bestätigte in einem seiner Briefe Maurolycus 'Einführung der Methode und verwendete sie selbst in seiner Traité du triangle arithmétique (1665), in der er das vorstellt, was wir jetzt das Pascal-Dreieck nennen.

Die moderne Quelle ist Giovanni Vacca (1872–1953) italienischer Mathematiker, Assistent von Giuseppe Peano und Wissenschaftshistoriker in seinem:

mit Kommentaren in:

Nach Kline:

ist die Methode [der mathematischen Induktion] implizit Selbst in Euklids Beweis für die Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlen [IX, 20].

Dieser Punkt ist umstritten.

Euklid, The Thirteen Books of die Elemente, Vol. 2: Die Bücher III - IX (TLHeath-Editor) geben IX.20 wie folgt an [Seite 412]:

Primzahlen sind mehr als jede zugewiesene Vielzahl von Primzahlen.

Der Beweis ist unmöglich. Laut Heaths Kommentar [Seite 413]:

Wir haben hier den wichtigen Satz, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist.

Weder in der Aussage von Der Satz noch in seinem Beweis Euklid verwendet die Arbeit unendlich [ apeiros -on : adj, unendlich].

In kann hilfreich sein, um sie zu platzieren Der Kontext der Grrek-Debatte über das Unendliche: Siehe Aristoteles und Mathematik zur tatsächlichen Unendlichkeit .

Nach der aristotelischen Philosophie können wir uns tatsächliche Unendlichkeit nicht legitim "vorstellen"; Das heißt, wir haben keine Erfahrung mit einer unendlichen "Sammlung", sondern nur mit einem unbegrenzten iterativen Prozess (der potentiellen Unendlichkeit).

Die Aussage von Euklid muss in diesem Zusammenhang verstanden werden: Wir haben sie nie eine "vollständige" unendliche Menge von Primzahlen , aber wir haben eine "Prozedur", die für eine endliche Sammlung von Primzahlen, was auch immer, eine neue Primzahl "erzeugen" kann, die ist nicht in der Sammlung.

Das einzige Vorkommen (nicht in Bezug auf gerade Linien), das ich gefunden habe, ist das Wort unendlich (Suche nach: EUCLID'S ELEMENTS OF GEOMETRY, der griechische Text von JL Heiberg (1883–1885), herausgegeben und mit einer modernen englischen Übersetzung von Richard Fitzpatrick versehen, ist VII, 31 [Heath ed, Seite 332]:

Jede zusammengesetzte Zahl wird durch eine Primzahl gemessen.

Der Beweis verwendet die Tatsache, dass:

Für, wenn sie nicht gefunden wird [eine Primzahl Zahl, die die Zahl davor misst, die auch A] misst, ein unendlicher Ser Zahlenzahlen [Hervorhebung hinzugefügt] messen die Zahl A, von denen jede kleiner als die andere ist: was in Zahlen unmöglich ist.

Es scheint der einzig vernünftige "Kandidat" zu sein "für einen Vorläufer des Prinzips der kleinsten Zahl [siehe den Kommentar von Ian Mueller, Philosophie der Mathematik und deduktive Struktur in Euklids Elementen (1981, Dover-Nachdruck), Seite 77] .


Laut:

Die Griechen hatten [...] keine mathematische Induktion [...].

In Bezug auf Pappus in

+1, Eine sehr gut durchdachte Antwort. Ein Unterthema, das ich gerne hinzugefügt sehen würde, ist, wie geometrische Serien in die Geschichte eingehen. Ich kann mich nicht sicher erinnern, aber ich glaube, geometrische Summen waren ein sehr frühes Ergebnis der Eudoxan-Geometrie.
Die Induktion muss nicht auf eine tatsächlich unendliche Menge angewendet werden, sondern wird auch für endliche Mengen unbestimmter Länge benötigt. Ein weiterer Vorläufer eines induktiven Arguments ist Euklids Beweis für den heutigen euklidischen Algorithmus http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII./propVII2.html. Und das geht wahrscheinlich auf Eudoxus zurück, wenn nicht auf frühe Pythagoreer.
Verwandte: Duhems Gegenargument in seiner "[Die Natur des mathematischen Denkens] (https://books.google.com/books?id=UofBybolmREC&pg=PA222)" zu Poincarés Überzeugung, dass "Arithmetik häufig eine Argumentation verwendet, die ist nicht gleichbedeutend mit einer Reihe von Syllogismen mit unbegrenzter Anzahl; in Wirklichkeit verdichtet es eine Unendlichkeit aufeinanderfolgender Syllogismen. "
#2
+10
HDE 226868
2014-11-20 01:07:21 UTC
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Nun, du könntest mit Platon gehen. Ab this,

Obwohl das Prinzip selbst in keinem antiken griechischen Text ausdrücklich angegeben ist, gibt es mehrere Stellen, die Vorläufer davon enthalten. In der Tat sehen einige Historiker die folgende Passage aus Platons (427-347 v. Chr.) Dialog Parmenides (§147a7-c3) als die früheste Verwendung eines induktiven Arguments.

Der Text zitiert Parmenides:

Dann müssen es mindestens zwei sein, wenn Kontakt bestehen soll. - Sie müssen. - Und wenn zu den beiden Begriffen unmittelbar nacheinander ein dritter hinzugefügt wird, sind es drei, während die Kontakte zwei sind. - Ja. - Und so wird, wenn ein [Begriff] kontinuierlich hinzugefügt wird, auch ein Kontakt hinzugefügt, und daraus folgt, dass die Kontakte eins weniger sind als die Anzahl der Begriffe. Für die gesamte aufeinanderfolgende Anzahl [von Begriffen] überschreitet die Anzahl aller Kontakte so sehr, wie die ersten beiden die Kontakte überschreiten, da sie zahlreicher sind als die Kontakte: denn danach, wenn ein zusätzlicher Begriff hinzugefügt wird, auch ein Kontakt zum Kontakte [wird hinzugefügt]. - Richtig. - Unabhängig von der Anzahl der Begriffe sind die Kontakte immer eins weniger. -Wahr.

Ich habe versucht, eine zweite Übersetzung zu finden, und diese gefunden, aber ich konnte diesen Abschnitt nicht identifizieren, obwohl der Abschnitt angeblich ist aufgeführt. Ich habe hier ein anderes Transkript gefunden, aber es stimmt auch nicht mit dem angegebenen Text im PDF überein. Dennoch ähnelt der Dialog stark der Technik der mathematischen Induktion, obwohl er in einem philosophischen Kontext verwendet wird.

Auf der Seite wird hinzugefügt, dass auch Euklid und Pappus eine Rolle spielten:

Es gibt jedoch mehrere alte mathematische Texte, die auch quasi-induktive Argumente enthalten. Zum Beispiel verwendet Euklid (~ 330 - ~ 265 v. Chr.) In seinen Elementen eine, um zu zeigen, dass jede ganze Zahl ein Produkt von Primzahlen ist. Ein Argument, das der modernen Version der Induktion näher kommt, findet sich in Pappus '(~ 290- ~ 350 n. Chr.) Collectio .

Ich konnte keine ähnliche Primärquelle für Euklid und Pappus finden. dies scheint jedoch Euklids Rolle zu bestätigen (obwohl nicht so detailliert, wie ich es gerne hätte) und sagt auch, dass die Behauptung von Wikipedia, dass Pascal wichtig ist (unten aus einer anderen Quelle erwähnt), zutreffend ist. Ich arbeite an mehr Primärquellen, aber im Moment sind keine weiteren in Vorbereitung.


Dies besagt, dass Pascal in der Neuzeit eine Rolle gespielt hat:

Cantor sagt in seiner Vorlesungen iuber Geschichte der Mathematik ', dass Pascal der Urheber der Methode der vollständigen Induktion war

Ich finde es sehr unbefriedigend, dass Sie den relevanten Abschnitt von Platons (und den Arbeiten der anderen alten Griechen) in Ihrer Antwort nicht wiedergeben. Bitte nehmen Sie sie in Ihre Antwort auf!
@Danu Ich schätze, dass Sie nicht nur abgelehnt haben und kein Feedback gegeben haben (oder überhaupt nicht!). Ja, es wäre gut, direkte Zitate von Plato et al. Zu erhalten; Ich hatte keine Zeit gehabt, sie früher zu bekommen. Ich werde es ihnen auf jeden Fall hinzufügen.
#3
+5
Pat B
2014-11-20 10:22:36 UTC
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Victor Katz schrieb in einer Diskussion auf der Diskussionsliste der Historia mathematica: "Als Barnabas Hughesnotes ist es schwierig, die Frage nach den" ersten Instanzen des Beweises durch Induktion "zu beantworten, wenn man nicht sorgfältig definiert, was man unter" Beweis durch Induktion "versteht. (Die gleiche allgemeine Bemerkung gilt für viele Fragen zu den ersten in der Geschichte der Mathematik.) Noicomachus hat sicherlich ein Argument, das wir sehr leicht in einen modernen formalen "Beweis durch Induktion" umwandeln würden. Dies gilt auch für mehrere islamische Autoren um das 11. Jahrhundert, einschließlich al-Karaji und al-Samaw'al. (Siehe mein Buch, S. 238-242.) Pascal kann der erste sein, der das moderne Prinzip der mathematischen Induktion explizit darlegt, aber selbst er gibt keine Beweise im modernen Stil, weil er hat keine Notation für ein allgemeines "n". Daher gibt er im Allgemeinen Beweise durch das, was ich die "Methode des verallgemeinerbaren Beispiels" nenne.

In einem anderen Beitrag schlägt Barnabus Hughes noch eine frühere "erste Verwendung" der Induktion vor: If die Essenz der mathematischen Induktion li Wenn in einem Prozess, der bei einem kleinen Wert beginnt, dieser Prozess zu größeren Werten fortgesetzt werden kann, die unabhängig von ihrer Größe das Muster beibehalten, das man akzeptieren möchte, würde ich riskieren, dass Nicomachus von Geresa die Essenz der mathematischen Induktion verwendet, wo er diskutierte figürliche Zahlen ( Arithmetica , Bk. 2, CC.7ff.) In C. 7 stellt er fest: "Daher ist das Dreieck unter diesen

Figuren elementar; denn alles andere ist darin aufgelöst, aber es ist nichts anderes." Er zeigt dann, wie, wenn der für die Erstellung jeder Figurennummer festgelegte Prozess befolgt wird, diese Nummer immer gesehen wird. C. 12 zeigt, wie die anderen Figuren in Dreiecke aufgelöst werden, einschließlich atable, in dem die ersten fünf polygonalen Zahlen bis zum zehnten Grad aufgelistet sind. Ich denke, dass Nick das Muster durch Induktion festgelegt hat. Kommentar?

Barnabas Hughes

#4
+3
Alexandre Eremenko
2014-11-20 07:24:36 UTC
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Laut Wikipedia war dies Levi ben Gershon (a.k.a. Gershonides, RALBAG). 1288–1344

Die Arbeit zeichnet sich durch die frühe Verwendung von Beweisen durch mathematische Induktion und die Pionierarbeit in der Kombinatorik aus.

und

Gersonides war auch der früheste bekannte Mathematiker, der die Technik der mathematischen Induktion systematisch und selbstbewusst angewendet hat

Bemerkung. Das Wort "Induktion" wird in der Philosophie in einem anderen Sinne verwendet. Man muss die mathematische Induktion von der "Induktion" in der Philosophie unterscheiden. Dies sind sehr unterschiedliche Dinge. Mir ist kein altgriechischer Gebrauch der mathematischen Induktion bekannt.

Zum "modernen" Sinn von * Induktion * (als mathematische Induktion) siehe André Weil, * Zahlentheorie: Ein Ansatz durch die Geschichte * (1984), Seite 50 für Fermats Kritik (1657) an der "induktiven Methode" als Heuristik Weg, um eine "allgemeine" Aussage in der Mathematik (nennen Sie sie "unvollständige Induktion") im Vergleich zu einem Beweis der besagten "allgemeinen" Aussage zu etablieren, und siehe Seite 77 für Fermats Aussprache (1659) seiner neu entdeckten Beweismethode: die * unendlicher Abstieg *.
#5
+3
Geremia
2016-11-17 09:26:55 UTC
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schreibt:

Der als "mathematische Induktion" bezeichnete Denkprozess hat mehrere unabhängige Ursprünge. Es wurde auf den Schweizer Jakob (James) Bernoulli, die Franzosen B. Pascal und P. Fermat sowie den Italiener F. Maurolycus zurückgeführt.


Es scheint Fermat (1601-1665) könnte der erste gewesen sein.

C. S. Peirce sagt, dass "mathematische Induktion" ein falscher Begriff für "fermatianische Inferenz" ist ( CP 6.116):

In Wahrheit gibt es von unendlichen Sammlungen nur zwei Größenordnungen, die endlose und die unzählige . So wie sich eine endliche Sammlung von einer unendlichen durch die Anwendbarkeit einer speziellen Argumentationsweise, des Syllogismus der transponierten Menge, unterscheidet, so unterscheidet sich, wie ich in dem zuletzt erwähnten Artikel gezeigt habe, eine numerierbare Sammlung von einer unzähligen durch die Anwendbarkeit einer bestimmten Argumentationsweise, der fermatischen Folgerung oder, wie es manchmal fälschlicherweise als „mathematische Induktion“ bezeichnet wird, darauf.

Er zitiert Fermat, Opera Omnia (Leipzig, 1911), vol. 1, §§340-351.


Auch
  • Boyer, Carl B. und Uta C. Merzbach. 1991. Eine Geschichte der Mathematik . New York: Wiley.
  • schreiben, (Hrsg. 2) xvii. 355:

    Tatsächlich wird mathematische Induktion oder Argumentation durch Wiederholung manchmal als "fermatianische Induktion" bezeichnet, um sie von wissenschaftlicher oder "baconianischer" Induktion zu unterscheiden.



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