Wie hat Professor Buchberger die Grundlagen von Gröbner (Groebner) für Polynomideale entdeckt? Was waren die Probleme, die zu einer solchen Entdeckung geführt haben?
Glücklicherweise hat Buchberger selbst den Kontext seiner Entdeckung beschrieben, siehe Historischer Hintergrund zu Gröbners Artikel von Abramson. Die Methode war Gröbner im Allgemeinen schon lange vor der Buchberger-These (1965) bekannt. In der Arbeit Über die Eliminationstheorie von 1950 ( Abramsons englische Übersetzung) wird sie angewendet, um Grundlagen von Integralen von Differentialgleichungen zu finden, aber er spielt auf viele andere Anwendungen an:
" Seit ungefähr 17 Jahren habe ich diese Methoden in den unterschiedlichsten und kompliziertesten Fällen angewendet und getestet, und ich glaube, ich kann aufgrund meiner Erfahrungen sagen, dass sie tatsächlich nützlich sind und wertvolles Werkzeug für die Lösung dieser und ähnlicher idealtheoretischer Aufgaben in jedem Fall. Da ich oft gefragt wurde, wie man die reduzierte Darstellung eines Polynomideals am einfachsten finden kann, habe ich mich nun entschlossen, die wesentlichen Merkmale dieser Methoden zu veröffentlichen. Auslassen der Details. "
1964 erklärte Gröbner die Methode in Beispielen auf einem Seminar, aber es war nicht klar, wann der Algorithmus enden würde. Buchberger griff das Problem bereits 1965 in allgemeiner und abstrakter Form auf. Kurz gesagt, es sollte effektiv bestimmt werden, ob ein erzeugtes Polynomideal nulldimensional ist oder nicht, oder wenn es war, ob nur endlich viele Restklassen übrig waren und ob sie linear unabhängig waren. Was er später Gröbner-Basen nannte, sollte diese Fragen lösen. Hier ist Buchbergers eigener Bericht über die Details:
" Die hier erwähnte Methode ist die Methode, die Gröbner in seinem Seminar 1964 vorgestellt hat, an dem ich als Student teilgenommen habe und nach dem ich gefragt habe Gröbner, ob ich das Studium seiner Methode als mein Doktorarbeitsthema nehmen könnte. Tatsächlich beschrieb Gröbner die Methode nur in Beispielen, die Methode wurde nicht wirklich als allgemeiner Algorithmus beschrieben. Noch wichtiger ist, es war überhaupt nicht klar, wann genau, für eine gegebene Eingabe Polynommenge, könnte die Methode beendet werden. Dieser Punkt ist aus folgenden Gründen subtil:
• Selbst wenn man (in einem bestimmten) Beispiel wusste, dass das Polynomideal nulldimensional ist (dh der Restklassenring hat eine Endlichkeit Vektorraumbasis) Es war keineswegs klar, ob nach Gröbners Methode immer eine Situation erreicht wird oder nicht, in der nur endlich viele linear unabhängige Restklassen übrig blieben (was der Fall ist, wenn jedes Unbestimmte nur in einem der Basispolyome erscheint). .
• Selbst wenn eine Situation erreicht wurde, in der nach dem obigen Kriterium klar war, dass nur endlich viele Rückstandsklassen übrig waren, war überhaupt nicht klar, ob dies der Fall ist linear unabhängig: Bei Berücksichtigung höherer Grade kann es durchaus vorkommen, dass Abhängigkeiten auftreten, die zum Zeitpunkt des Stopps der Methode nicht bekannt waren. Daher war die Frage: Wie hoch müssen wir mit den Graden der Polynome gehen, um sicherzugehen, dass keine linearen Abhängigkeiten mehr auftreten?
• Im Allgemeinen Wenn eine beliebige Polynommenge gegeben ist, wissen wir nicht, ob das erzeugte Polynomideal nulldimensional ist oder nicht. Diese Frage benötigt nur die Berechnung einer Gröbner-Basis, um sie zu entscheiden!
Dies waren im Grunde die Fragen, die Gröbner mir für meine Doktorarbeit gestellt hat. Tatsächlich waren sie nicht klar voneinander getrennt, aber in seinem Wortlaut lautete die Frage: Wann kann man die Berechnung mit dieser Methode beenden?
Auf dem Weg zur Beantwortung dieser Fragen habe ich erfand dann den Begriff der S-Polynome und zeigte seine Relevanz für die Beantwortung aller drei Fragen. Basierend auf S-Polynomen gab ich dann einen neuen Algorithmus an, der Polynommengen (die ich später Gröbner-Basen nannte) berechnet, aus denen als Nebenprodukt auch eine linear unabhängige Vektorraumbasis des Restklassenrings der Eingangspolynommenge sein könnte ablesen. Zum Mit diesem Algorithmus habe ich auch einen vollständigen Korrektheits- und Terminierungsnachweis erbracht (der die Terminierung auch für den Fall ungleich Null garantiert).