Frage:
Was ist der Unterschied zwischen dem Newtonschen Kalkül und dem von Leibniz?
Sameer Shemna
2014-10-29 10:25:56 UTC
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Gibt es Unterschiede zwischen der von Newton durchgeführten Kalkülstudie und der von Leibniz durchgeführten? Wenn ja, bitte Punkt für Punkt erwähnen.

Verwandte Themen zu Math.SE: http://math.stackexchange.com/questions/521929/what-did-newton-and-leibniz-actually-discover, http://math.stackexchange.com/questions/745922/how- Did-Newton-and-Leibniz-Do-Calculus, http://math.stackexchange.com/questions/306278/how-did-the-ancients-view-infinitesimals
Fünf antworten:
#1
+24
kaine
2014-10-29 20:56:40 UTC
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Newtons Notation, Leibniz 'Notation und Lagranges Notation werden heute in gewissem Maße verwendet:

$$ \ dot {f} = \ frac {df} {dt} = f' ( t) $$$$ \ ddot {f} = \ frac {d ^ 2f} {dt ^ 2} = f '' (t) $$

Weitere Beispiele für Notationen finden Sie unter Wikipedia.

Die Standardintegralnotation ($ \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty f dt $) wurde ebenfalls von Leibniz entwickelt. Newton hatte keine Standardnotation für die Integration.

Ich habe aus "The Information" von James Gleick Folgendes gelesen: Laut Babbage, der schließlich die Lucasianische Professur in Cambridge übernahm, die Newton innehatte, verkrüppelte Newtons Notation die Mathematik Entwicklung. Er arbeitete als Student, um Leibniz 'Notation einzuführen, wie sie heute in Cambridge verwendet wird, trotz der Abneigung, die die Universität aufgrund des Newton / Leibniz-Konflikts immer noch hatte. Diese Notation ist in den meisten Fällen viel nützlicher als die von Newton. Dies bedeutet jedoch, dass es als einfacher Bruch behandelt werden kann, der falsch ist.

* Dies bedeutet jedoch, dass es als einfacher Bruch behandelt werden kann, der falsch ist. * Nicht wahr. Eine gute Diskussion hierzu finden Sie unter Blaszczyk, Katz und Sherry, Zehn Missverständnisse aus der Geschichte der Analyse und ihrer Entlarvung, http://arxiv.org/abs/1202.4153. Siehe auch http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis. Wie in der Blaszczyk-Veröffentlichung erläutert, hat Leibniz dies im Grunde genommen völlig richtig verstanden, einschließlich dessen, was in der NSA jetzt als Unterscheidung zwischen dem Quotienten dy / dx und dem Derivat bezeichnet wird, das der Standardteil dieses Quotienten ist.
#2
+8
Mikhail Katz
2016-04-06 16:40:13 UTC
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Über die Notation hinaus experimentierte Newton mit einer Reihe grundlegender Ansätze. Einer der frühesten betraf Infinitesimale, während er sich später wegen des philosophischen Widerstands seiner Zeitgenossen von ihnen fernhielt, was häufig auf sensible religiöse Überlegungen zurückzuführen war, die eng mit konfessionsübergreifenden Streitigkeiten verbunden waren. Leibniz war sich auch der Streitigkeiten bewusst, aber er verwendete systematisch Infinitesimale und Differentiale bei der Entwicklung des Kalküls und war aus diesem Grund erfolgreicher darin, Anhänger anzuziehen und die Forschung anzuregen - oder was er Ars Inveniendi nannte.

#3
+7
José Hdz. Stgo.
2016-04-07 03:55:57 UTC
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Sie sollten sich unbedingt das zweite Kapitel von Arnolds Huygens & Barrow, Newton & Hooke ansehen. Der verstorbene Prof. Arnold fasste darin den Unterschied zwischen Newtons Ansatz zur mathematischen Analyse und dem von Leibniz wie folgt zusammen:

Newtons Analyse war die Anwendung von Potenzreihen auf das Studium der Bewegung ... Für Leibniz, .. Die Analyse war eine formalere algebraische Untersuchung von Differentialringen.

Arnolds Überblick über Leibniz 'Beiträge zum Thema wird mit einer nicht zu vernachlässigenden Anzahl von zum Nachdenken anregenden Bemerkungen aufgepeppt:

In der Arbeit anderer Geometer - z. B. Huygens und Barrow - tauchten auch viele Objekte auf, die mit einer bestimmten Kurve verbunden sind [zum Beispiel: Abszisse, Ordinate, Tangente, Steigung der Tangente, Fläche einer Krummlinigkeit Figur, der Subtangens, das Normale, das Subnormale und so weiter] ... Leibniz mit seiner individuellen Tendenz zur Universalität [er hielt es für notwendig, das sogenannte Merkmal zu entdecken, etwas Universelles, das alles in der Wissenschaft vereint und alle Antworten enthält zu allen Fragen], entschied, dass alle diese Quan auf die gleiche Weise berücksichtigt werden. Zu diesem Zweck führte er einen einzelnen Term für eine der Größen ein, die mit einer gegebenen Kurve verbunden sind und eine Funktion in Bezug auf die gegebene Kurve erfüllen - den Begriff Funktion ...

Laut Leibniz waren viele Funktionen mit einer Kurve verbunden. Newton hatte einen anderen Begriff - fließend -, der eine fließende Größe, eine variable Größe und damit Bewegung bezeichnete. Auf der Grundlage von Pascals Studien und seinen eigenen Argumenten entwickelte Leibniz ziemlich schnell eine formale Analyse in der Form, wie wir sie jetzt kennen. Das heißt, in einer Form, die besonders geeignet ist, um Analysen von Menschen zu lehren, die sie nicht verstehen, für Menschen, die sie nie verstehen werden ... Leibniz hat ziemlich schnell die formalen Regeln für den Umgang mit Infinitesimalen festgelegt, deren Bedeutung unklar ist.

Leibniz 'Methode war wie folgt. Er ging davon aus, dass sich die gesamte Mathematik wie auch die gesamte Wissenschaft in uns befindet und dass wir allein durch die Philosophie auf alles treffen können, wenn wir die Prozesse, die in unserem Geist ablaufen, aufmerksam berücksichtigen. Durch diese Methode entdeckte er verschiedene Gesetze und manchmal sehr erfolgreich. Zum Beispiel entdeckte er, dass $ d (x + y) = dx + dy $ span>, und diese bemerkenswerte Entdeckung zwang ihn sofort, darüber nachzudenken, was der Unterschied eines Produkts ist . In Übereinstimmung mit der Universalität seiner Gedanken kam er schnell zu dem Schluss, dass Differenzierung ein Ringhomomorphismus sein musste, dh dass die Formel $ d (xy) = dx dy $ span> muss halten. Nach einiger Zeit stellte er jedoch fest, dass dies zu einigen unangenehmen Konsequenzen führt, und fand die richtige Formel $ d (xy) = xdy + y dx $ span>, die jetzt Leibniz heißt Regel. Keiner der induktiv denkenden Mathematiker - weder Barrow noch Newton, der in der marxistischen Literatur als empirischer Esel bezeichnet wurde - konnte Leibniz 'ursprüngliche Hypothese in den Kopf bekommen, da dies für eine solche Person ziemlich offensichtlich war Was ist der Unterschied eines Produkts aus einer einfachen Zeichnung ...

Arnolds Behauptung, Leibniz sei "zu dem Schluss gekommen", dass $ d (xy) = dxdy $ ein Fehler ist, der an anderer Stelle ausführlich diskutiert wurde. Leibniz machte keinen solchen Anspruch geltend, sondern fragte im Gegenteil, ob dies wahr sei. Und tatsächlich kam er bald zu dem Schluss, dass es nicht so war. Arnolds sarkastischer Ton stammt wahrscheinlich aus seinem Misstrauen (nach Berkeley und Cantor?) Gegen Infinitesimale, was auch in einigen absurden Behauptungen deutlich wird, die er hier in Bezug auf die angebliche "Dunkelheit" ihrer Bedeutung macht.
#4
+3
Carlos Bribiescas
2014-10-29 18:26:55 UTC
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Aus praktischer Sicht war die Notation sehr unterschiedlich.

Ein besonderer Punkt für mich ist, dass Sie mit der Leibniz-Notation falsch mit Ableitungen arbeiten können, als wären sie ein mathematischer Bruch. Leider funktioniert das die meiste Zeit, so dass es auch heute noch in College-Kursen verwendet wird.

Ich glaube nicht, dass mit Verknüpfungen etwas nicht stimmt, bis zu dem Punkt, an dem sie es nicht tun. t das Verständnis beeinträchtigen. In diesem Fall glaube ich, dass dies zu einem Missverständnis des Themas führt. Ich denke, dies allein bringt Newtons Notation über die von Leibniz.

Vielen Dank an @carlosbriebiescas für den Einblick, ich werde ihn jetzt lesen. Ist dies jedoch der einzige Unterschied?
-1: Ich befürchte, dass solche Behauptungen auf einem Missverständnis der Notation von Leibniz sowie auf der historischen Verwendung der Wortfunktion beruhen. Für Details siehe zum Beispiel diese Diskussionen: [Wenn d / dx ein Operator ist, worauf funktioniert es?] (Https://mathoverflow.net/q/115416/745) und [Polymorphe Funktionen in der Vektorrechnung] (https: //matheducators.stackexchange.com/questions/13520/polymorphic-functions-in-vector-calculus/13525#13525)
#5
+3
Sholto Maud
2017-01-21 17:40:40 UTC
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Aus Loemkers Übersetzung

"Leibniz 'Argumentation ist weniger allgemein als die von Newton (Principia, Buch I, obwohl sie eine breitere Anwendung des Gesetzes der inversen Quadrate als nur auf die Schwerkraft anstrebt). Sätze I, 2, 14), da sie harmonische Bewegung voraussetzen. "

Leibniz, Gottfried Wilhelm Philosophische Papiere und Briefe: Eine Auswahl / Übersetzt und bearbeitet, mit eine Einführung von Leroy E. Loemker. 2d ed. Dordrecht: D. Reidel, 1970. S.362



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