Frage:
Welche Beispiele führten zur modernen Definition eines topologischen Raums?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
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Heute ist die Sprache topologischer Räume über offene Mengen in vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik von grundlegender Bedeutung, und es ist ein bisschen mysteriös, dass der gleiche Formalismus eine so große Vielfalt von Verhaltensweisen erfolgreich erfasst. Ich kann mir mehrere unabhängige Gründe vorstellen, um die Definition einer Topologie zu erfinden, die sich alle auf den Radarschirmen von Mathematikern befanden, als die Definition zu Beginn des 20. Jahrhunderts zum ersten Mal überlegt wurde:

  1. Eine Grundlage für Kleins Erlangen-Programm und Poincares Arbeit über Betti-Zahlen und die Grundgruppe schaffen
  2. Um die Grundlagen der Analysis zu klären, z die Rolle der Kompaktheit im Extremwertsatz
  3. Unterscheiden zwischen verschiedenen Begriffen der Konvergenz von Funktionen (was zur Funktionsanalyse führt)
  4. Argumenten, die "generische" Konfigurationen in der Algebra beinhalten, Bedeutung verleihen Geometrie
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    Meines Wissens nach hat es einige Zeit gedauert, bis der moderne Formalismus topologischer Räume entstanden ist. Ich frage mich also, welche spezifischen Ergebnisse oder Beispiele die Entwicklung am meisten beeinflusst haben. Und welche modernen Anwendungen der Theorie wurden erst nach ihrer Reifung realisiert?

Ich denke, Volterra und einige andere (beginnend Mitte oder Ende der 1880er Jahre, glaube ich), die versuchten, die Methoden der Variationsrechnung zu verstehen, indem sie über die Berechnung mit "Funktionen von Kurven" (z. B. deren Länge) und Frechets spätere Vereinigung sprachen dieser Ideen in seinem 1906 Ph.D. These hatte viel mit der Entwicklung von Topologie-Begriffen zu tun. Siehe auch die mathematische Stackexchange-Frage [Ursprünge der modernen Definition der Topologie] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
Es ist eine gute Frage, warum die Topologie über offene Mengen eingeführt wird. Als sie am College in meinen Physikunterricht eingeführt wurden, wirkten sie deutlich unbeeindruckt und die Vorstellung von offenen Mengen war für sie überhaupt nicht selbstverständlich. Tatsächlich kann die Topologie durch eine Verallgemeinerung von Grenzwerten eingeführt werden - was meiner Meinung nach weitaus natürlicher wäre. Ich glaube, Liebniz hatte bereits den modernen Begriff der Kontinuität in embryonaler Form.
Zwei antworten:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
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Ich glaube, dass unsere moderne Definition eines topologischen Raums hauptsächlich aus Hausdorffs Buch Grundzüge der Mengenlehre stammt, das erstmals 1914 in der 2. Auflage veröffentlicht wurde. 1927. Hausdorff begann mit metrischen Räumen, verallgemeinerte sie dann aber.

Natürlich war der Hintergrund für Hausdorffs Arbeit die 19. Arbeit über Kontinuität und die sogenannte "Arithmetisierung der Analyse" - der Versuch Kalkül auf eine feste logische Grundlage stellen. Die größten Namen hier sind Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bozen und Cantor. Die Axiomatisierung der allgemeinen Topologie in Bezug auf offene oder geschlossene Mengen ist jedoch auf Hausdorff zurückzuführen

Die Version, die ich gehört habe, sagt tatsächlich, dass es Hausdorff war. In der Definition einer Mannigfaltigkeit gibt es kleine Nachbarschaften, die bijektiv auf offene Kugeln im euklidischen Raum abgebildet werden, so dass die Übergangskarten im euklidischen Raum dort, wo sie sich überlappen, kontinuierlich sind. Dann sah Hausdorff, dass in der Definition der "stetigen Funktion" von $ X \ bis Y $ die Nachbarschaften nicht den Mengen im euklidischen Raum entsprechen mussten, man konnte einfach für jedes $ a \ in X $ und für jedes sagen Nachbarschaft $ B $ oder $ f (a) $ in $ Y $ gibt es eine Nachbarschaft $ A $ von $ a $ in $ X $, so dass $ f $ $ A $ in $ B $ abbildet. ...
... Also sagte er: Was ist, wenn wir dies als ** Definition ** eines Raumtyps betrachten, in dem wir "kontinuierliche Funktion" definieren können? Er gab Axiome dafür an, wobei Nachbarschaften von Punkten der primitive Begriff waren. Später kamen andere auf andere Definitionen, und Hausdorffs stellte sich als geringfügiger Sonderfall heraus und ist heute als "Hausdorff-Raum" bekannt.
@GeraldEdgar Ich hörte die gleiche Geschichte, mit der Wendung, dass er die Definition eines Differentialverteilers an den allgemeineren kontinuierlichen Fall anpasste. Auch Weyl sollte irgendwie involviert sein. Aber ich konnte nicht herausfinden, wo ich das gelesen habe. Ich konnte es in Weyls Konzept einer Riemannschen Oberfläche nicht finden.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
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Topologische Räume scheinen ihre Wurzeln im neunzehnten Jahrhundert zu haben. Es begann indirekt mit der Theorie der Grenzwerte und Delta-Epsilon-Beweise. Ein großer Durchbruch gelang mit der Entwicklung der Mengenlehre (z. B. DeMorgan-Gesetze) in der Mitte bis Ende des Jahrhunderts. Dies führte zur "Verallgemeinerung" von Grenz-, Konvergenz- und Akkumulationspunktaxiomen unter Verwendung der Theorie offener und geschlossener Mengen. Die Topologie wird manchmal als "Punktmengen" -Theorie bezeichnet.

Die von Ihnen zitierten Anwendungen kamen "später", dh im 20. Jahrhundert. So auch die sogenannten Trennungsaxiome, beginnend mit Hausdorff-Räumen im Jahr 1914 und erweitert in der Mitte des Jahrhunderts. Der Grundstein für diese Anwendungen wurde jedoch im vorigen Jahrhundert gelegt.

Dies beantwortet die Frage überhaupt nicht, die speziell nach * Beispielen für topologische Räume * fragt. Ihre Antwort ist nicht ganz hilfreich, aber ich denke, es wäre besser als Kommentar.
@JackM: In der Frage fragte das OP "Welche spezifischen Ergebnisse oder Beispiele waren am einflussreichsten ...". Ich antwortete mit "Ergebnissen", nicht mit Beispielen. Sie sind Mathematiker und beschäftigen sich mit "Beispielen". Ich bin Historiker und beschäftige mich mit "Zeitplänen". (Siehe unsere jeweiligen SE-Reputationswerte.) Aus historischer Sicht wird "was dazu führte" durch Ergebnisse wie "Grenzwerte und Delta-Epsilon-Beweise" sowie die Mengenlehre gut beantwortet. Meine Antwort reicht also bis ins 19. Jahrhundert zurück. Für manche Menschen kann dieses "Gesamtbild" genauso nützlich sein wie zeitgenössische Beispiele.


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