Frage:
Wurde jemals ein "schwieriger" Beweis durch einen "einfachen" ersetzt?
Ima Guest
2015-09-09 19:01:04 UTC
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Nehmen wir ein offensichtliches Beispiel. Ich bin sicher, dass Amateur-Mathematiker (und einige Profis) weiterhin nach Fermats 'wunderbarem Beweis' für seinen letzten Satz suchen werden. Dies trotz der Tatsache, dass Andrew Wiles die Behauptung mit viel ausgefeilteren Techniken bewiesen hat, als Fermat es möglicherweise hätte wissen können. (Fakten aus Fermats letztem Satz aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie und anderen Quellen.)

Frage

Gibt es in der Geschichte der Mathematik einen Beweis, der wesentlich vereinfacht wurde, von einem, den nur spezialisierte Mathematiker verstehen würden, zu einem kürzeren, einfacheren Beweis dafür? Jemand mit einem guten Verständnis der Mathematik (sagen wir bis zum Beginn des Grundstudiums) wäre in der Lage zu verstehen?

Gibt es in der Geschichte Hinweise, die die Idee stützen, dass es eine realistische Hoffnung ist, einen einfachen Beweis für Fermats letzten Satz zu finden?

Ich würde sagen, dass die meisten schwierigen Beweise mit der Zeit vereinfacht wurden. In der MO (der Website für professionelle Mathematiker) wurde genau die entgegengesetzte Frage gestellt: Gibt es Beispiele für schwierige Beweise aus dem 19. Jahrhundert, die NICHT vereinfacht wurden? Es gibt nur sehr wenige Beispiele.
Es kann unmöglich sein, die Kriterien für die Beantwortung dieser Frage zu definieren. Es kommt wahrscheinlich oft vor, dass jemand einen harten, langen Beweis macht, und dann erkennen die Leute, dass die im Beweis verwendeten Ideen von allgemeinerem Interesse sind. Ein Beispiel hierfür könnte die Nichtlösbarkeit der Quintic- und Galois-Theorie sein. Sobald Sie die Galois-Theorie etabliert haben, könnte die Nichtlösbarkeit des Quintins ein Einzeiler sein.
Nur darwinistische Auswahl in Aktion, einfache Beweise werden komplexe überzeugen. Schließlich.
Der übliche Ablauf ist, dass der erste veröffentlichte Beweis später von Personen vereinfacht wird, die selbst wahrscheinlich keinen Beweis gefunden hätten.
Es gibt Gordan vs. Hilbert auf Invarianten ... https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Gordan (unabhängig davon, ob Gordan tatsächlich sagte "Das ist keine Mathematik, das ist Theologie").
Ein konkretes Beispiel: [Doyles "6-Zeilen-Beweis"] (https://mathstatnotes.files.wordpress.com/2017/06/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society-volume-64-issue-02 -1968-doi-10-10172fs0305004100042821-doyle-ph-plane-separation.pdf) des Jordan-Brouwer-Theorems. Es ist nicht in sich geschlossen, aber wir sollten erwarten, dass jeder Beweis des Theorems auf einer mathematischen Technologie beruht.
Sechs antworten:
#1
+22
Conifold
2015-09-10 00:05:31 UTC
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Dies passiert immer wieder. Mathematiker veröffentlichen gern Artikel mit dem Titel Elementary Proof of Such and Such [hard] Theorem. Ursprüngliche Beweise sind oft Tour de Force (Heldentaten der Stärke), sie führen neue Konzepte auf dem Weg ein, machen verschlungene Konstruktionen, erfordern schwere Berechnungen, nur um irgendwie zum Endergebnis zu gelangen. Sobald ein neues Framework entwickelt wurde, werden fertige Konzepte verfügbar, einige Umwege werden beseitigt, Konstruktionen werden optimiert und Berechnungen werden rationalisiert und minimiert. Manchmal erlaubt ein anderer Ansatz, viele ursprüngliche Komplikationen vollständig kurzzuschließen.

Das prototypische Beispiel ist der Satz von Pythagoras. Euklids Beweis für den "Brautstuhl" ist ein Schmerz, dem man folgen muss Beweise, die auch ohne Worte verstanden werden können. Gleiches gilt für sein Volumen eines Pyramidenbeweises durch "Methode der Erschöpfung", selbst viele Autoren, die über Geschichte schreiben, ziehen es vor, ihn durch eine Version mit Grenzen zu ersetzen. Viele Apollonius-Beweise in Kegelschnitten sind (zum Beispiel von Heath) selbst für professionelle Geometer als nahezu undurchdringlich charakterisiert, können jedoch mithilfe der Koordinatengeometrie optimiert werden hätte von Apollonius gegeben werden können, war es aber nicht, wurde erst 1822 von Dandelin gefunden. In geringerem Maße gilt das Gleiche für Newtons euklidische Beweise in Principia, zum Beispiel seine Ableitung des inversen Quadratgesetzes aus Keplers Gesetzen, einen viel zugänglicheren kalkülbasierten Beweis liefert Bressoud im zweiten Jahr Kalkül ( zusammen mit einer Darstellung von Newton zum Vergleich).

Abels ursprünglicher Beweis der Unlösbarkeit von Gleichungen höherer Ordnung in Radikalen war ziemlich involviert. Alexeev schrieb ein Buch Abels Theorem in Problems and Solutions basierend auf Arnolds Vorlesungen für kluge Highschooler, die komplexe Analysen verwenden. Dasselbe geschah mit dem Fundamentalsatz der Algebra, elementare komplexe Analyse-Beweise sind jetzt für Studenten zugänglich, Gauß 'ursprüngliche Beweise sind nicht so sehr. Gödels 1930er Beweise für Unvollständigkeitssätze sind ein technisches Labyrinth (nicht zuletzt, weil er die Notation und Terminologie von Russells Principia verwendete), er vereinfachte sie 1934 selbst etwas, und jetzt präsentieren viele populäre Bücher (oft etwas schlampig) elementare Beweise.

Sehr schön aufgeschlüsselt. Ihr Standpunkt zur Zugänglichkeit für nachfolgende Generationen, da die Methoden vereinfacht werden, ist gut gemacht. Ich habe den deutlichen Eindruck, dass jede nachfolgende Generation von Menschen "schlauer" ist als die vorherige Generation, teilweise aufgrund von Konzepten, die einst radikal oder unzugänglich erschienen und anschließend zumindest konzeptionell in den Bereich des "Allgemeinwissens" aufgenommen werden. (Aber das ist natürlich nur eine Hypothese;)
Was genau ist in Gauß 'Beweisen, dass Sie für Studenten nicht zugänglich sind?
#2
+12
wythagoras
2015-09-09 22:35:49 UTC
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Der ursprüngliche Beweis des Lasker-Noether-Theorems von Emanuel Lasker dauerte 98 Seiten, aber jetzt sind Beweise von weniger als einer Seite bekannt. Sie können es auf Wikipedia sehen.

Wir haben auch die Auflösung von Singularitäten, die von 216 Seiten (Hironaka, 1964) auf einige Dutzend Seiten vereinfacht wurde.

Bemerkenswert ist auch Ruffinis Versuch, das über 500 Seiten umfassende Abel-Ruffini-Theorem zu beweisen, das jedoch nicht vollständig war und daher nicht als Beweis angesehen werden kann. Abels Beweis war nur 6 Seiten.

Dies sind keine wirklich unterschätzten Konzepte, aber sie sind (glaube ich) interessant für den massiven Rückgang der Seitenzahl.

#3
+8
KCd
2015-09-10 06:52:51 UTC
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Ein Beweis für Fermats letzten Satz für Polynome in einer Variablen über den komplexen Zahlen wurde erstmals im 19. Jahrhundert unter Verwendung algebraischer Geometrie gefunden. Heutzutage kann dies einfacher als Folge des Mason-Stothers-Theorems bewiesen werden, das einen sehr einfachen Beweis hat, der jemandem zugänglich ist, der nur weiß, wie man ein Polynom (formal) differenziert.

Möchten Sie einige Links teilen?
@vonbrand, Ich denke, wenn Sie Mason Stothers Fermat googeln, werden Sie bald einige relevante Links finden. In jedem Fall ist die Behandlung des Mason-Stothers-Theorems in Langs Algebra (oder seiner Mathematikgespräche für Studenten) ein Ort, an dem man nachsehen sollte.
#4
+7
Michael Hardy
2016-02-27 00:55:54 UTC
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Aus Gian-Carlo Rotas Buch Indiscrete Thoughts (nicht zu verwechseln mit seinem anderen Buch Discrete Thoughts ), Seiten 114–116:

Man könnte denken, dass, sobald der Primzahlsatz bewiesen wurde, andere Versuche, ihn durch völlig andere Techniken zu beweisen, als erfolglos aufgegeben würden.

[Eigentlich niemand, der weiß, was typischerweise passiert würde das denken.]

Aber das ist nicht passiert, nachdem Hadamard und de la Vallée Poussin.

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Für ungefähr fünfzig Jahre danach erschien Papier für Papier in den besten Mathematikzeitschriften, die Nuancen, Vereinfachungen, alternative Wege, leichte Verallgemeinerungen und schließlich alternative Beweise für den Primzahlsatz lieferten. Zum Beispiel entwickelte der amerikanische Mathematiker Norbert Wiener in den dreißiger Jahren eine umfassende Theorie tauberischer Theoreme, die eine Vielzahl unterschiedlicher Ergebnisse in der klassischen mathematischen Analyse vereinheitlichte. Die herausragende Anwendung der Wiener-Theorie, die in der gesamten mathematischen Welt weithin anerkannt ist, war genau ein neuer Beweis für den Primzahlsatz.

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Wieners Beweis hatte eine galvanisierende Wirkung. Von diesem Zeitpunkt an glaubte man, dass der Beweis des Primzahlsatzes elementar gemacht werden könnte.

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Es dauerte weitere zehn Jahre und ein paar hundert Forschungsarbeiten, um eine Farrago von Irrelevanzen aus Wieners Beweis zu entfernen. Der erste elementare Beweis des Primzahlsatzes, der "im Prinzip" nur elementare Schätzungen der relativen Größen von Primzahlen verwendete, wurde schließlich von den Mathematikern Erdős und Selberg erhalten.

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Erdős und Selbergs Beweise summierten sich auf gut fünfzig Seiten elementarer, aber starker Argumentation und waren länger und schwerer zu befolgen als die vorhergehenden. Es hatte jedoch den Vorteil, sich nur auf Begriffe zu stützen, die der Definition der Primzahl "innewohnen", sowie auf einige andere elementare Tatsachen, die auf Euklid und Eratosthenes zurückgehen.

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Es dauerte einige hundert Forschungsarbeiten, um Erd ,s und Selbergs Argumentation auf den Punkt zu bringen, bis Mitte der sechziger Jahre der amerikanische Mathematiker Norman Levinson ( der Forschungsstudent von Norbert Wiener war) veröffentlichte eine kurze Notiz mit dem Titel "Ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes".

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Mein Verständnis von Conway ist, dass seine Faulheit ihn im Allgemeinen dazu veranlasste, Techniken neu zu erfinden (anstatt sich die Zeit zu nehmen, frühere Arbeiten anzusehen), und dass dies im Allgemeinen nicht als schlechte Sache angesehen wurde. ;)
#5
+5
Kushal Bhuyan
2016-01-16 08:42:32 UTC
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Nachdem ich andere Antworten gelesen habe, möchte ich nur noch ein Beispiel hinzufügen. Der berühmte Primzahlsatz. Der Beweis des Satzes wurde (unabhängig) von Jacques Hadamard und Charles Jean de la Vallée-Poussin in $ 1896 $ unter Verwendung von Ideen erbracht, die von Bernhard Riemann strong eingeführt wurden > insbesondere die Riemann-Zeta-Funktion . Jetzt war der Beweis für jemanden mit einem Grundstudium schwer (ich sage nicht, dass niemand das kann!)

Nach fast 50 $ Jahren, in $ 1948 $, Atle Selberg und Paul Erdős gab einen eher "elementaren" Beweis für die PNT.

Siehe hier für Selbergs Artikel

Wikipedia_link

Ich glaube, das "Elementare" in Selberg-Erdös 'Beweis ist, dass sie keine Analyse verwenden, nicht, dass es in irgendeiner Weise "einfach" ist.
Es ist nicht so, dass keine Analyse verwendet wird (ganz im Gegenteil). Ihr Beweis verwendet im Gegensatz zu komplexen Analysen nur realvariable Techniken.
#6
+3
Otto
2017-06-16 00:31:07 UTC
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Überraschend, dass niemand Cantor erwähnt. Sein Beweis für unzählige Sätze von 1874 (obwohl nicht so schwierig wie viele in den anderen Antworten erwähnte Beweise) würde niemanden außer einer Handvoll Spezialisten in Versuchung führen. Sein diagonales Argument von 1891 war jedoch so einfach und auffällig, dass selbst Laien es verstehen und die Mengenlehre auf einmal populär machen konnten.

Danke, dass du Cantor erwähnt hast! Ich finde es auch von Interesse, dass er wie Sokrates beschuldigt wurde, "[die Jugend zu korrumpieren]" (https://books.google.com/books?id=u122DAAAQBAJ&pg=PA81&lpg=PA81&dq=Cantor+corrupting+youth&source=bl&ots=) NOiZ-TsBWP & sig = -KMoqV4ko_dX0KmY-qXVu2REHtU & hl = en & sa = X & ved = 0ahUKEwiowong48DUAhXCzz4KHVrlDZkQ6AEILzAC # v = onepage & q = Cantor% 20y in Ideen wie dem Multiversum.


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