Frage:
Wie und wann wurde Bozen's Beweis für den Satz von Bozen-Weierstraße wiederentdeckt?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
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Ich war schon immer neugierig, wie großartig vergessene Ideen wiederentdeckt werden. Diese Frage: Gibt es schriftliche Quellen (19. Jahrhundert), die die Überzeugung zum Ausdruck bringen, dass die Zwischenwerteigenschaft der Kontinuität entspricht? führte mich zu folgendem Artikel:

Schubring, Gert: " Bernard Bozen - Nicht so unbekannt für seine Zeitgenossen, wie allgemein angenommen wird?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (Elseviers Paywall Es tut mir leid, dass ich keine freigegebene Version gefunden habe.)

mit der Aussage, dass "Herman Hankel der erste gewesen sein soll, der die mathematische Gemeinschaft 1871 auf Bozen aufmerksam gemacht hat. "" (und Schubring argumentiert weiter, dass Bozen wahrscheinlich um 1825 in Crelles Kreis in Berlin bekannt war, bevor es vergessen wurde.)

Wie kam Hankel auf Bozen und erkannte, dass Bozen Vorrang vor Bozen hatte Weierstrass?

Einer antworten:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
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Faire Warnung: Diese Antwort beantwortet die Frage nicht vollständig, aber ich denke, sie kann die Frage so gut beantworten, wie es möglich ist.

Der Artikel, den Hankel geschrieben hat (veröffentlicht 1971) Die Arbeit von Bozen wird allgemein als "Wiederentdeckung" bezeichnet. Dies war ein Artikel in Abschnitt 1 Theil 90 (Gregorius - Grezin) der Allgemeinen Enzyklopädie der Wissenschaften und Künste, einer der größten Enzyklopädien, die jemals geschrieben wurden (obwohl sie 167 Bände umfassen) unvollendet). Sie können diesen Abschnitt hier in Google Books frei lesen. Hankels Artikel befasst sich mit "Grenzen".

Der relevante Absatz zu Bozen befindet sich auf den Seiten 209-210, während die Geschichte der Analyse erörtert wird. Ich werde diesen Absatz grob im modernen Englisch übersetzen. Ich sollte beachten, dass ich so gut wie kein Deutsch kann, daher ist die Übersetzung eine Menge Rätselraten, und ich könnte an einigen Stellen falsch liegen. Wer Deutsch kann, sollte sich frei fühlen, Fehler zu notieren.

Noch schlimmer war ein anderer Zeitgenosse, der damals und heute unter Mathematikern fast völlig unbekannt blieb: Wir müssen die Priorität der ersten rigorosen Entwicklung in der EU zurückfordern Reihe algebraischer Analysen zugunsten des hervorragenden Bernhard Bozen. Bozens Vorstellungen von der Konvergenz der Reihe sind ganz klar und richtig geschrieben, seine Operationen mit unendlichen Reihen sind alle streng bewiesen, und nichts ist falsch an der Entwicklung dieser Aussagen für echte Argumente, die er überall vermutet. Im Vorwort kritisiert er treffend die bisherigen Ableitungen des Binominal-Theorems und dann die gewöhnliche uneingeschränkte Verwendung unendlicher Reihen. Kurz gesagt, dieses Werk war nicht nur eine französische Kunst, er sollte in dieser Hinsicht mit Cauchy auf die gleiche Ebene gestellt werden und seine Gedanken auf angenehme Weise zum Ausdruck bringen. Aber Bozen blieb unbekannt und wurde bald vergessen; Cauchy war der Glückliche, der als Reformator der Wissenschaft gelobt wurde und dessen elegante Schriften in kurzer Zeit allgemeine Verbreitung fanden.

In diesem Absatz schreibt Hankel Bozen grundsätzlich zu, dass er einen Großteil der Grundlagen der Analyse unabhängig von (und Jahren zuvor) Cauchy entwickelt hat. Bozen blieb jedoch unbekannt, während Cauchy, der in französischen Mathematikkreisen gut vernetzt war, es leicht fand, seine Arbeit zu kommunizieren. Hankel erwähnt nicht, wo oder wie er Bozen gefunden hat.

Einige historische Kommentare sind hier angebracht. 1871 ist ein bedeutendes Jahr; Insbesondere ist es das Jahr, in dem der französisch-preußische Krieg eine Zeit starken Nationalstolzes in Deutschland und allgemeiner Abneigung gegen alles Französische ist. Die Enzyklopädie, in der Hankel schrieb, sollte eine Art Enzyklopädie "für und vom deutschen Volk" sein. Hankel wäre sicherlich nicht glücklich gewesen, Cauchy, einem Franzosen, die Ehre zu erweisen, Analysen zu entwickeln. Es war weitaus besser, es Bozen zu geben. Sicher, Bozen war nicht der ideale deutsche Mathematiker, da er den größten Teil seiner akademischen Karriere in Österreich verbracht hatte und sowohl Philosoph und Theologe als auch Mathematiker war (und ein umstrittener dazu), aber er sprach und schrieb auf Deutsch. und ebenso wichtig war nicht Französisch. Und Bozen hat wirklich (größtenteils) die Dinge getan, die Hankel ihm zugeschrieben hat. Um es klar auszudrücken, ich beschuldige Hankel nicht eines Fehlverhaltens, indem ich darauf hinweise, sondern nur, dass er großes Interesse daran hatte, Bozen so viel wie möglich zuzuschreiben.

Es gibt jedoch ein Problem Die Entwicklung von Grenzen in der Analyse wird Bozen gegenüber Cauchy zugeschrieben, obwohl dies eher philosophisch als mathematisch ist. Bozen hatte wahrscheinlich eine ganz andere Interpretation seiner Theoreme als spätere Leser. In der Tat argumentiert Steve Russ in "Die mathematischen Werke von Bernard Bozen", dass Bozen seine Theoreme überhaupt nicht in Grenzen gedacht hätte, was er mit den Unendlichkeiten in Verbindung gebracht hätte, die er zu beseitigen versuchte. Von den Seiten 146-147:

Die moderne Anerkennung von Bozen wirft jedoch ein historisches Problem auf. Von Hankels Artikel im Jahr 1871 bis zu den Auszügen in Bitkhoff (1973) neigten Kommentatoren dazu, Bozen besondere Anerkennung für Angelegenheiten zu zollen, die er zu dieser Zeit in einem ganz anderen Licht sah als diese späteren Kritiker. Wir denken hier an das arithmetische Konzept der Grenze und das Konzept der Konvergenz unendlicher Reihen, die heute allgemein angenommen werden. Diese Konzepte waren lange Zeit in irgendeiner Form verwendet worden, und nach anderen Beispielen in seinen Schriften zu urteilen, wäre Bozen nicht zu bescheiden gewesen, sie als neu und originell zu bezeichnen, wenn er sie als solche angesehen hätte. Er tut es nicht. Zweifellos hatte er großes Vertrauen in diese Definitionen; Sie erfüllten seine konzeptionellen Anforderungen, er wusste, dass sie bei der Entwicklung der Analyse fruchtbar und effektiv sein würden, aber er behauptet nie, dass sie seine eigenen sind ...

Es wird allgemein angenommen, dass nach der Einführung von mit ω oder Ω gekennzeichneten Größen, möglicherweise mit Indizes, in BL §14 ff. eine ziemlich übliche Theorie der Grenzen. Die Ironie ist, dass Bozen zusammen mit den meisten seiner Zeitgenossen Grenzen mit unendlichen Prozessen (oder unendlich kleinen Mengen) verbunden hätte. Und so wäre er zu diesem Zeitpunkt entsetzt gewesen, mit einer solchen Theorie in Verbindung gebracht zu werden. Ähnliches gilt für seine Arbeit zur Konvergenz von Serien. Er glaubte, die Binomialreihe für negative und rationale Exponenten rein endlich zu behandeln. Die Art und Weise, wie er seine ω-Größen verwendet - variable Größen, die kleiner als eine bestimmte Größe werden können oder die so klein werden können, wie es uns gefällt, hat natürlich einen unendlichen Wertebereich angesprochen. Wir könnten sie "willkürlich kleine Mengen" nennen. Rusnock schlägt vor, dass ein solches Konzept einer Variablen, die so klein wie gewünscht werden kann, zu dieser Zeit üblich war. Es ist eine Art Gegenstück zu einer physikalisch variablen Größe. Er schlägt vor, dass die ωs von Bozen als Bereiche von Werten interpretiert werden könnten, die Null enthalten ...

Das heißt, dass Hankels Urteil über Bozen als unabhängigen Entdecker der Eine strenge Theorie der Grenzen in der Analyse ist zwar in Bezug auf den mathematischen Inhalt korrekt, aber sicherlich falsch, wenn wir die philosophischen Aspekte seiner Arbeit berücksichtigen. Aber selbst wenn Hankel dies erkannte, hatte er natürlich wenig zu gewinnen, wenn er in seinem Artikel ausdrücklich darauf hinwies. Auf jeden Fall waren weder Bozen noch seine Sätze weniger streng als die von Cauchy; nur seine Interpretation der Definitionen und des Inhalts der Theoreme war unterschiedlich.

Auf jeden Fall werden Sie feststellen, dass Hankel weder Bozen-Weierstrass noch den Zwischenwertsatz (der das ultimative Ziel von Bozen war, für das Bozen-Weierstrass nur ein Lemma war) erwähnt hat. Das ist nicht sonderlich überraschend. Während Hankel wahrscheinlich das Ergebnis von Weierstrass kannte (sie waren gut bekannt, da Hankel vor seiner Promotion 1861 in Berlin mit Weierstrass zusammengearbeitet hatte), war es wahrscheinlich zu neu, um seine Bedeutung zu würdigen, insbesondere im Zusammenhang mit dieser Art von Veröffentlichung. Es ist nicht einmal klar, dass Hankel die Teile von Bozen gelesen hatte, die sich auf den Zwischenwertsatz bezogen; Die Teile, die er im Artikel zitiert, sind an anderer Stelle. Es war also nicht wirklich Hankel, der hier die Priorität von Bozen festlegte.

Nach Hankels ursprünglichem Zitat gingen einige Mathematiker zurück und lasen die verschiedenen Werke von Bozen und interpretierten sie in einer moderneren Sprache. Otto Stolz wird insbesondere die Wiederentdeckung und Neuveröffentlichung vieler seiner mathematischen Werke im Jahr 1881 zugeschrieben. Dazu gehörte der einschlägige Artikel Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , der vor Weierstrass und sogar älter ist Cauchy, der die Priorität Bozen für den Zwischenwertsatz und den Satz Bozen-Weierstraß festlegt. Eine Reihe anderer einflussreicher deutscher Mathematiker und Philosophen las ebenfalls Bozen, und es wurden einige andere interessante mathematische Ergebnisse gefunden. Sein Vermächtnis wurde wahrscheinlich in den verschiedenen historischen Aufzeichnungen der einflussreichen (zumindest in Göttingen) Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Dienste zementiert, in denen seine Arbeit mehrfach als seiner Zeit weit voraus erwähnt wurde.

Das beantwortet die Frage zu Bozen-Weierstraße, aber es gibt immer noch eine unbeantwortete Frage, nämlich wie Hankel überhaupt Bozen gefunden hat (was ein großer Teil Ihrer ursprünglichen Frage war). Ich kenne die Antwort darauf nicht und nach meinem besten Wissen tut es niemand. Vielleicht hatte er eine Vorstellung davon, dass es eine osteuropäische Schule für analytische Philosophie gab, die sich zu Beginn des 19. Jahrhunderts mit Fragen im Zusammenhang mit Unendlichkeiten befasste und mit Leibniz 'informellem Ansatz zur Analysis unzufrieden war. Oder vielleicht geriet er beim Schreiben des Artikels in ein Gespräch mit jemandem (möglicherweise mit jemandem, der mit Bozen aus dem in dem von Ihnen zitierten Artikel erwähnten Zeitraum der 1820er Jahre vertraut war, oder möglicherweise nicht einmal mit einem Mathematiker), der ihm vorschlug, sich das anzuschauen Richtung. Hankel studierte anständig die Geschichte der Mathematik (obwohl seine historischen Werke typischerweise bemerkenswerte Fehler aufwiesen) und wies auch auf die Bedeutung der Arbeit von Hermann Grassmann im Jahr 1867 hin, zwei Jahrzehnte nachdem Grassman im Wesentlichen aufgehört hatte Er machte Mathematik und hatte daher sicherlich ein breiteres Verständnis für die Werke seiner Vorgänger als der durchschnittliche Mathematiker seiner Zeit. Wie genau Hankel Bozen gefunden hat, ist unklar, aber wenn er es einmal getan hat, ist es ziemlich klar, dass er es in seinem Artikel nicht einfach ignorieren würde, unabhängig davon, was Bozen getan hat / nicht darüber nachgedacht hat, wie er seine Ergebnisse interpretieren soll. Hankel starb 1873, nur zwei Jahre nach der Veröffentlichung des Artikels, und nach meinem besten Wissen äußerte er sich nie wieder zu Bozen. Während man in der Lage sein könnte, die Bewegungen verschiedener Mathematiker von 1817 bis 1871 zu verfolgen, um herauszufinden, wie die Idee an Hankel weitergegeben worden sein könnte (eine scheinbar herkulische Aufgabe, wenn auch technisch nicht unmöglich), würden wir bestenfalls damit enden eine Vermutung, und die Wahrheit ist möglicherweise für die Geschichte verloren.



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