Russell schrieb einen historisch-philosophischen Essay über die Grundlagen der Geometrie (1897), den Jost auf S.127 zitiert und der auf Gutenberg frei verfügbar ist. Russells Rezeption von Riemann geht bereits aus den ihn betreffenden Abschnittsüberschriften hervor:
- Riemann betrachtete den Raum als eine bestimmte Art von Mannigfaltigkeit, dh vollständig quantitativ
- Er hat daher die qualitativen Adjektive des Raums unangemessen vernachlässigt.
- Seine Philosophie beruht auf einer bösartigen Disjunktion
Seine Definition einer Mannigfaltigkeit ist unklar - Und seine Definition der Messung gilt nur für den Raum
- Obwohl er mathematisch von unschätzbarem Wert ist, ist seine Sicht auf den Raum als Mannigfaltigkeit philosophisch irreführend.
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Abgesehen davon, dass der junge Russell Riemann etwas zu hart gegenübersteht, macht dies deutlich dass seine Bedenken eher philosophisch als mathematisch waren. Es hilft, sich daran zu erinnern, dass Riemann ein Kantianer war, er nennt ausdrücklich Kants Nachfolger in Königsberg, Herbart, als Einfluss in seinem Vortrag, der einzige andere benannte Einfluss ist Gauß, siehe mehr in Welche Schule der Philosophie motivierte das Denken über Räume von höhere Dimension? Und, wie wir von Russell wissen, " es war gegen Ende 1898, als Moore und ich gegen Kant und Hegel rebellierten" analytische Philosophie gefunden.
Die "bösartige Disjunktion" von Riemann lautet: "Entweder müssen die Axiome Konsequenzen allgemeiner Größenvorstellungen sein, denkt er, oder sie können nur durch Erfahrung bewiesen werden." ". Nach Russells Meinung müssen wir stattdessen fragen: " Welche Axiome, dh welche Adjektive des Raums, müssen vorausgesetzt werden, damit ein quantitativer Vergleich der Teile des Raums überhaupt möglich ist? " Und das nicht zu fragen Für Russell war Riemanns Hauptsünde:
Seine Philosophie beruht meines Erachtens hauptsächlich auf diesem Irrtum und der unkritischen Annahme, dass ein metrisches Koordinatensystem unabhängig von Axiomen der Raummessung aufgestellt werden kann. Riemann hat nicht beobachtet, was ich im nächsten Kapitel zu beweisen versucht habe, dass Geometrie unmöglich werden würde, wenn der Raum kein streng konstantes Krümmungsmaß hätte; auch, dass das Fehlen eines konstanten Krümmungsmaßes eine absolute Position beinhaltet, was eine Absurdität ist.
Das Ironischste daran ist, dass der bald anti-kantische Russell ist einen Kantianer Riemann dafür kritisieren, dass er ... nicht Kantianer genug ist. Übersehen der konstitutiven Prinzipien, die a priori übernommen werden müssen, damit empirische Messungen möglich werden. Der Grund, warum Russell der konstanten Krümmung eine solche Prämie auferlegt, ist, dass nur damit eine transitive metrikerhaltende Wirkung und damit eine Messung nach seiner Meinung von 1897 möglich ist. Und das ist natürlich eine Replikation von Kants ähnlicher These über die euklidische Geometrie. Einstein wird ein derart enges Konstrukt der physikalischen Geometrie früh genug auflösen und Riemanns Untersuchung der Grundlagen der Geometrie " auf noch tiefere Weise " für die Bereitstellung einer Sprache allgemeiner Kovarianz im Jahr 1912 zuschreiben, siehe Wie wurde Einstein dazu gebracht, für seine Allgemeine Relativitätstheorie Kontakt mit der Differentialgeometrie aufzunehmen?
Josts empfohlener Kommentar zu Russell über Riemann ist Torettis Philosophie der Geometrie von Riemann bis Poincaré, siehe auch den diesjährigen Raum, die Zahl und die Geometrie von Helmholtz bis Cassirer von Biagioli.