Frage:
Welche gruppentheoretischen Ergebnisse waren für mehrere Sonderfälle bekannt, bevor die allgemeine Definition einer Gruppe festgelegt wurde?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
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Viele Ergebnisse in der Gruppentheorie wurden für Permutationsgruppen nachgewiesen, bevor die allgemeine Definition einer Gruppe festgelegt wurde (zum Beispiel: Satz von Lagrange, Satz von Sylow). Permutationsgruppen waren jedoch nicht die einzigen Gruppen, die im neunzehnten Jahrhundert untersucht wurden, es gab auch Gruppen geometrischer Transformationen und Gruppen, die sich aus der Zahlentheorie ergaben (ich kann nicht wirklich mehr Details angeben, weil ich die Details nicht offen kenne).

Waren allgemeine gruppentheoretische Ergebnisse für mehrere spezifische Fälle bekannt, die nicht nur Permutationsgruppen waren, bevor die allgemeine Definition einer Gruppe formuliert worden war? Ich frage, weil ich mich frage, ob solche "Zufälle" die allgemeine Definition einer Gruppe motiviert haben könnten. Beispielsweise war der Satz von Lagrange im 19. Jahrhundert sowohl für Permutationsgruppen als auch für die multiplikative Gruppe von $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (über Euler) bekannt.

Es ist wahrscheinlich erwähnenswert (obwohl Sie dies sicherlich wissen), dass jedes rein gruppentheoretische Ergebnis, das für Permutationsgruppen bewiesen werden kann, für abstrakte Gruppen nach Cayleys Theorem gilt.
Die Unlösbarkeit von Polynomen fünfter Ordnung durch Radikale wurde meines Wissens vor Galois bewiesen. Er legte die Grundlage für den allgemeinen Fall. Man könnte argumentieren, wie gruppentheoretisch das ist.
Zwei antworten:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
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Der Artikel The Abstract Group Concept aus dem McTutor-Archiv beschreibt die Schritte zur modernen abstrakten Definition. Kurz gesagt, Cayley unternahm die ersten Stolperversuche (unter expliziter Berufung auf das Assoziativgesetz) in einem Artikel von 1854, aber erst 1895 gab Weber in seinem Lehrbuch der Algebra die moderne Definition. Weber schloss unendliche Gruppen ein.

Was die ursprüngliche Frage betrifft: Abgesehen von dem von Ihnen erwähnten Lagrange-Theorem sind mir keine Fälle bekannt, in denen die abstrakte Definition frühere separate Ergebnisse vereinheitlicht hat. Die abstrakte Definition scheint nicht durch diesen Wunsch motiviert worden zu sein. Es ist jedoch wahr, dass Lie-Gruppen direkt von Galois 'Permutationsgruppen inspiriert waren und Lies Wunsch, eine Theorie für Differentialgleichungen zu entwickeln, die der Galois-Theorie entspricht.

Es erscheint auch plausibel, dass Weber, der einen umfassenden Text über Algebra schrieb, die Möglichkeit sah, unterschiedliche Begriffe zu vereinen. Aber das ist nur eine Vermutung von meiner Seite.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
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"Fast alles" wurde gefunden, bevor die allgemeine moderne Definition einer Gruppe festgelegt wurde :-) Ich bin nicht sicher, wer die erste Definition der abstrakten Gruppe gegeben hat (als Menge mit einer Operation, die solche und solche Axiome erfüllt). Aber wahrscheinlich geschah dies im 20. Jahrhundert (verschiedenen Menschen wird dies zugeschrieben). Für Mathematiker des 19. Jahrhunderts war eine Gruppe eine Gruppe von Transformationen einer Menge in sich selbst. Und die ersten tiefen Ergebnisse gehören Lagrange und Galois.

Cayley wird im Allgemeinen die abstrakte Definition einer Gruppe zugeschrieben. Ich würde in derselben Zeitung von 1854 raten, in der er Cayleys Theorem bewies.
@Michael Weiss: Können Sie einen Hinweis auf Cayleys Papier geben? Hat er nur endliche oder willkürliche Gruppen berücksichtigt? Wenn dies so ist, wurden alle Ergebnisse vor 1854 vor der allgemeinen Definition einer Gruppe bewiesen. Vor allem die Galois-Theorie.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Ich habe den Artikel selbst nicht gelesen, daher meine Formulierung des Kommentars.
@Michal Weiss: gut, ich habe die erste Seite gelesen und sie bestätigt, was ich gesagt habe: Für Cayley sind die ELEMETNS der Gruppe "Operationen" oder "Transformationen", eher die Elemente einer abstrakten Menge :-) Ich glaube, niemand hat sie verwendet. " setzt "systematisch vor Cantor.
Sie haben Recht, aber wenn Sie den Rest des Artikels lesen, werden Sie feststellen, dass er sich dem modernen Konzept nähert. Inzwischen habe ich den McTutor-Archivartikel gefunden, der die Entwicklung des abstrakten Konzepts beschreibt.


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