Frage:
Warum waren Geometer mit dem Parallelpostulat unzufrieden?
Conifold
2014-12-18 07:29:10 UTC
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Euklid selbst behandelt es bereits mit Handschuhen, es hat eine ungewöhnlich genaue Formulierung und wird in den ersten 28 Sätzen der Elemente nicht verwendet. Warum? Hat er daran gezweifelt? Es ist nicht so, dass Euklid ein Formalist war. Im allerersten Beweis von Satz I.1 (Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks) schließt er aus dem Diagramm frei, dass sich zwei Kreise mit gemeinsamen inneren Punkten an zwei Punkten schneiden. Dies wird von Greenberg Kreis-Kreis-Axiom genannt und ist kein Postulat. Warum ist der Schnittpunkt zweier Kreise "selbstverständlich", der (effektive) Schnittpunkt zweier konvergenter Linien jedoch nicht? Euklid erschwert das erste Postulat auch nicht, indem er die Eindeutigkeit einer Linie durch zwei Punkte festlegt, obwohl aus seinen Beweisen hervorgeht, dass er sie annimmt. Das zweite Postulat ist ebenfalls schwächer als das, was Euklid tatsächlich verwendet.

Im Gegensatz dazu ist Euklid bei Parallelen sehr pedantisch, als würde er versuchen, auf sie aufmerksam zu machen: " Wenn ein Liniensegment zwei gerade Linien schneidet Wenn zwei Innenwinkel auf derselben Seite gebildet werden, die sich zu weniger als zwei rechten Winkeln summieren, treffen sich die beiden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit verlängert werden, auf der Seite, auf der sich die Winkel zu weniger als zwei rechten Winkeln summieren. "

Einige Lehrbücher geben Euklids "Fehlern" und "Lücken" die Schuld an anderen Fällen, aber dies ist anscheinend eine Modernisierung, die darauf basiert, Pasch und Hilbert in Euklid einzulesen. Euklids Methode war nicht axiomatisch, sondern synthetisch. Mit anderen Worten, wenn er eine geometrische Konstruktion angibt, akzeptiert er nicht deduktive Schlussfolgerungen "aus dem Diagramm", solange die Schlussfolgerungen aus einem möglichen Diagramm folgen würden, das mit der Konstruktion übereinstimmt. Gelistete Postulate waren die am häufigsten verwendeten und / oder vielleicht "subtilsten"? Im Prinzip war es überhaupt nicht nötig, das parallele Postulat aufzulisten, so wie Euklid den Kreis-Kreis oder die Eindeutigkeit der Linie nicht auflistete.

Selbst wenn Euklid etwas über Parallelen auflisten wollte, könnte er sich stattdessen für I.30 entscheiden, zwei Linien parallel zu einem dritten sind parallel zueinander. Viel einfacher. Das Gegenteil davon (zwei sich schneidende Linien können nicht beide parallel zu einer dritten sein) ist mittlerweile bekannt und wird als "Playfair-Axiom" verwendet. Selbst wenn Euklid nicht wusste, dass es gleichwertig ist, zeigte Ptolemaios es laut Proclus später explizit, aber das wurde nicht als zufriedenstellend angesehen.

Beweisversuche wurden über tausend Jahre fortgesetzt. Welchen Beweis suchten Geometer? Sicherlich nicht das fünfte Postulat "von den anderen vier" ableiten, da von den anderen vier oder allen fünf nicht viel abgeleitet werden kann, nicht einmal I.1. Synthetische Beweise, die sich auf "selbstverständlichere" Behauptungen stützen, wurden anscheinend beginnend mit Archimedes angeboten, aber nie akzeptiert. Warum?

Sie können in diesem [Beitrag] (http://math.stackexchange.com/questions/802848/why-did-the-ancients-hate-the-parallel-postulate) eine ähnliche Diskussion sehen.
Viele Leute * haben * versucht, das parallele Postulat der anderen vier zu beweisen.
Schauen Sie sich nur die Postulate an, es ist viel länger als die 4 anderen Postulate (fast so lange wie die anderen 4 zusammen). Das an sich macht es nicht so offensichtlich wie die anderen, es schreit fast: "Ich sehne mich zu sehr danach, ein Postulat zu sein." ""
@Jack M Dies ist auf schlampiges Schreiben in elementaren Lehrbüchern zurückzuführen. Hartshorne in Euklid und darüber hinaus berichtet ausführlich über viele versuchte Beweise, von denen keiner versucht, "von den anderen vier" zu beweisen. Die meisten Autoren führen ausdrücklich zusätzliche Axiome ein, selbst diejenigen, die nicht wie Saccheri die ersten 28 Sätze von Elementen mit allen synthetischen Schlussfolgerungen "aus dem Diagramm" über Kongruenz, Zwischen- und Schnittpunkte in ihren Beweisen verwenden.
@Willemien Seit Ptolemäus war bekannt, dass Euklids Bissen durch "zwei Linien parallel zu einer dritten sind parallel zueinander" ersetzt werden kann. Sie könnten es dadurch ersetzen und die Sache zur Ruhe bringen, aber nein. Saccheri zeigte, dass die Existenz eines einzelnen Rechtecks, egal wie klein es ist, das parallele Postulat impliziert. Wenn das nicht "selbstverständlich" ist, dann ist auch keines der 4 Postulate.
Ich denke, Euklid ist glücklich, aus dem Diagramm zu schließen, wenn es intuitiv klar ist, dass eine kleine Änderung im Diagramm die relevante Eigenschaft nicht ändern würde (d. H. Zwei Kreise, die sich treffen, treffen sich immer noch, wenn einer von ihnen leicht bewegt wird). Wenn jedoch eine willkürlich kleine Änderung in der Konfiguration (dh eine von zwei parallelen Linien, die nur geringfügig "gedreht" werden) die Eigenschaft ändern könnte (z. B. sie treffen lassen), ist er nicht bereit, aus dem Diagramm zu schließen, und möchte daraus schließen (oder annehmen) explizit und verbal.
Einer antworten:
Alexandre Eremenko
2014-12-18 20:17:46 UTC
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Die Gründe sind "einfach". Alle anderen Axiome und Postulate appellieren zumindest prinzipiell an unsere "Alltagserfahrung". Die geraden Linien entsprechen Lichtstrahlen im Alltag. Allerdings hat Euklid wahrscheinlich bereits erkannt, dass sich das parallele Postulat von den anderen Axiomen unterscheidet. Natürlich ist ein gewisses Maß an mathematischer Raffinesse erforderlich, um dies zu verstehen. Aber wahrscheinlich hat Euklid dies bereits verstanden. Selbst wenn es genau angegeben wird, sieht das V-Postulat viel komplizierter aus als die anderen Axiome und Postulate.

Wie würden Sie es tatsächlich experimentell überprüfen? Das Postulat selbst besagt, dass man durch jeden Punkt A, der nicht auf der Linie L liegt, nur eine Linie parallel zu L zeichnen kann. Wie würden Sie vorschlagen, dies experimentell zu überprüfen? Es gibt eindeutig viele Linien durch A, die L so weit weg schneiden, dass Sie dies nicht sehen können. Sie überschneiden sich also nicht in Ihrem Sichtfeld.

Oder Sie können versuchen, die Konsequenzen zu überprüfen. Eine der einfachsten Konsequenzen ist, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks zwei rechten Winkeln entspricht. Wie können Sie überprüfen, ob dies im wirklichen Leben zutrifft? Keine Messung, egal wie genau sie Ihnen dies zeigt.

Gauß und Lobachevski, die erkannten, dass das Postulat tatsächlich nicht aus den übrigen Axiomen folgt diskutieren die mögliche experimentelle Überprüfung. Dazu muss man die Winkel eines sehr großen Dreiecks messen. Und jedes Ergebnis, das Sie erhalten, weist einen Messfehler auf und lässt die Möglichkeit offen, dass bei einem größeren Dreieck die Summe nicht zwei rechten Winkeln entspricht.

BEARBEITEN. Um ein besseres intuitives Verständnis der Bedeutung der Axiome zu erhalten, stellen Sie sich vor, Sie leben in einer Welt, in der eines der Axiome nicht zufrieden ist, und untersuchen, wie unterschiedlich dieses Wort aussieht. Angenommen, zwei Lichtstrahlen können sich an zwei Punkten schneiden. Dies bedeutet, dass Sie unter bestimmten Bedingungen dasselbe Objekt wie zwei Objekte sehen. Unser Alltag Die Erfahrung zeigt, dass dies in unserer Welt nicht der Fall ist.

Stellen Sie sich nun eine Welt vor, in der das parallele Postulat nicht gilt. Wirst du etwas Besonderes in deinem Alltag sehen? Die Antwort ist nein". Alles wird mehr oder weniger gleich aussehen. Bis Sie anfangen, die Winkel großer Dreiecke zu messen. Wir haben jedoch nicht wirklich alltägliche Erfahrungen mit der Messung von Winkeln großer Dreiecke.

Genau das verstehe ich nicht: Was macht es so anders? Können wir überprüfen, ob zwischen zwei Punkten nur eine Linie liegt, egal wie weit sie voneinander entfernt sind? Dass sich eine Linie auf unbestimmte Zeit erstreckt? Diese Kreise kreuzen sich wirklich? Dass sich konvergente Linien schneiden, ist nicht weniger oder intuitiver oder überprüfbarer. Die sphärische Geometrie stimmt mit den geschriebenen Postulaten von Euklid überein (das parallele Postulat ist vakant erfüllt), er schließt es mit synthetischen Argumenten von I.16 aus, die ebenfalls nicht aus den übrigen Axiomen und Postulaten im modernen Sinne "folgen".
Quine weist darauf hin, dass gerade Linien nicht nur Lichtstrahlen entsprechen, sondern verschiedenen Phänomenen des Alltags: Sie sind die Form der Kante eines gefalteten Papiers (weil eine gerade Linie der Schnittpunkt zweier Ebenen ist) und vor allem sie sind die Form einer Schnur, die zwischen zwei Punkten gespannt ist. (Der Name "Linie" leitet sich von dieser letzten ab; er bedeutet wörtlich eine Schnur, wie in der Angelschnur, und ist mit der Leinen verwandt, aus der sie besteht.) Die Schnur als gestreckte Schnur und als Lichtstrahl leitet sich beide von der Tatsache, dass es der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ist.
In der Tat schreibt Demokrit ägyptischen "Seiltragen" den Griechen Geometrieunterricht zu. Apollonius spricht von geraden Linien als Abstraktionen von Mauern und Straßen und wie die Idee der Länge daraus entsteht, siehe S.210 in Lucio Russos http://link.springer.com/article/10.1007/s004070050016. Archimedes postuliert ausdrücklich, dass die gerade Linie der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten in einem seiner Bücher ist.
Wände und Straßen sind keine guten Standards für gerade Linien. Jeder weiß, dass Wände und insbesondere Straßen gekrümmt sein können. Wie können wir feststellen, dass eine Wand gerade (flach) ist? Nur durch Vergleich mit den Lichtstrahlen. Wie können Sie feststellen, dass Ihr Lineal gerade ist? Durch den Vergleich mit dem Lichtstrahl.


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