Frage:
Wer hat als erster $ \ pi $ berechnet?
Anthony Pham
2015-01-24 23:25:41 UTC
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Ich interessiere mich sehr für die Geschichte von $ \ pi $. Ich versuche zuerst herauszufinden, wer es berechnet hat. Viele Quellen haben unterschiedliche Antworten, von den alten Ägyptern über Archimedes bis zu den Babyloniern. Ich kann immer noch keine Antwort darauf finden, wer $ \ pi $ zuerst entdeckt oder einen Weg gefunden hat, es mit einem gewissen Grad an Genauigkeit zu berechnen. Also, wer oder welche Gruppe von Menschen waren die ersten, die $ \ pi $ entdeckt / berechnet haben?

Es ist ziemlich trivial zu bemerken, dass pi ungefähr 3 ist, basierend auf Dingen wie dem Wickeln eines Seils um einen Baum. Ich bezweifle, dass Sie eine erste Person finden werden, die es geschätzt hat.
Mit welcher Genauigkeit? Wenn Sie $ \ frac {22} {7} $ möchten, haben Sie eine ganz andere Antwort als wenn Sie $ 3.14159 $ möchten.
Mit jedem Grad an Genauigkeit
Niemand. Die Dezimalerweiterung von $ \ pi $ hat unendlich viele Ziffern und es ist kein Muster für sie bekannt. Fragen Sie sich, wer zuerst eine Grenzwertformel entwickelt hat, die diese im Prinzip mit jeder Genauigkeit berechnen kann?
@conifold: noch besser, ** es ist bekannt, dass es kein Muster gibt **
Vielleicht sollten wir zugeben, dass Ludolph die Ludolphianische Zahl berechnet hat ... http://www.calculatoredge.com/math/mathhistory/historyans27.htm
@PeterMasiar Die Normalität von $ \ pi $ ist nur eine Vermutung. Es gibt eine Art hexadezimales Muster: https://en.wikipedia.org/wiki/Bailey–Borwein–Plouffe_formula Da $ \ pi $ jedoch irrational ist, werden die Ziffern nicht wiederholt.
Vier antworten:
Conifold
2015-01-25 04:59:50 UTC
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Es hängt von der Bedeutung von "berechnen" ab, da $ \ pi $ span> eine transzendentale Zahl ist, die nicht in der üblichen Bedeutung des Wortes "berechnet" werden kann .

Die erste analytische Formel (in Form einer unendlichen Reihe), die im Prinzip $ \ pi $ span> mit jeder erforderlichen Genauigkeit berechnen kann, ist wahrscheinlich darauf zurückzuführen an den mittelalterlichen indischen Mathematiker Madhava, der als erster explizit unendliche Reihen erfand, oder an einen seiner Nachfolger. In Europa wurde diese Reihe von Leibniz wiederentdeckt und wird in der westlichen Literatur üblicherweise als Leibniz-Reihe bezeichnet.

Ein halbgeometrisches "Berechnungsverfahren", das im Prinzip willkürliche Genauigkeit erzeugen kann, ist viel älter. Es besteht aus der Annäherung eines Kreises durch eingeschriebene und umschriebene Polygone und kann auf den antiken griechischen Redner Antiphon the Sophist zurückgeführt werden. Diese Methode wurde mathematisch durch Eudoxus von Cnidus unter Verwendung der sogenannten Erschöpfungsmethode gerechtfertigt, und seine Rechtfertigung wird in Buch XII von Euklids Elementen dargestellt. Archimedes perfektionierte die Methode in Über die Messung des Kreises. Er bewies rigoros, dass das Verhältnis des Kreises zum Quadrat in seinem Radius das gleiche war wie das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser, so dass es in beide Richtungen berechnet werden konnte.

Die Approximation des Umfangs mit Polygonumfängen ist viel einfacher als die Approximation der Kreisfläche mit Polygonflächen, wie von Antiphon vorgeschlagen. Mit $ 96 $ span> -gons erhielt Archimedes das, was jetzt als doppelte Schätzung $ 3 \ frac {10} {71} < dargestellt wird \ pi<3 \ frac17 $ span>, obwohl für Archimedes $ \ pi $ span> keine Zahl war und das Ergebnis geometrisch in Verhältnissen von formuliert wurde Größen. Im 17. Jahrhundert verfeinerte Huygens die Methode weiter und erhielt die bisher genauesten Schätzungen, aber danach wurden die Analysemethoden effektiver.

Die alten Griechen hatten jedoch auch ein anderes Berechnungskonzept, ein rein geometrisches, das zu ihrer Zeit vorherrschte. Eine geometrische Größe wurde als "berechnet" angesehen, wenn man eine geometrische Konstruktion dafür angeben konnte. Im Fall von $ \ pi $ span> bedeutete dies, ein Quadrat mit einer Fläche zu konstruieren, die der Fläche eines gegebenen Kreises entspricht (oder nach Archimedes ein Segment mit einer Länge von gleich) halber Kreisumfang). Mit Lineal und Kompass ist dies unmöglich (aber es wurde erst im 19. Jahrhundert von Lindeman gezeigt), aber die Griechen hatten auch breitere Vorstellungen von "Konstruktion".

In diesem weiteren Sinne wurde der Kreis zuerst von Dinostratus um 350 v. Chr. unter Verwendung einer Kurve quadriert, die jetzt als quadratrix bekannt ist. Die Kurve selbst wurde ein Jahrhundert zuvor von Hippias erfunden, der sie durch Kombination gleichmäßiger linearer und kreisförmiger Bewegungen erzeugte und für die Winkeltrisektion verwendete. In modernen Begriffen erzeugt es aus einem Segment der Länge $ 1 $ span> ein Segment der Länge $ 2 / \ pi ("berechnet") $ span>, und daraus ist es einfach, ein Segment der Länge $ \ pi $ span> mit Lineal und Kompass zu erhalten. Später "berechnete" Archimedes $ \ pi $ span> im selben Geist unter Verwendung einer anderen Kurve, die durch gleichmäßige lineare und kreisförmige Bewegungen erzeugt wurde, der archimedischen Spirale.

Toller Punkt über die ultimative Unkalkulierbarkeit transzendentaler Zahlen!
Ich würde es als den ersten Algorithmus interpretieren, der - zumindest theoretisch - $ \ pi $ mit jeder Genauigkeit berechnen könnte.
Alexandre Eremenko
2015-01-25 03:19:26 UTC
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Was meinst du mit "richtig oder nicht"?

Hier ist eine kurze Geschichte. Die Bibel hat einen Satz, der so interpretiert werden kann, dass $ \ pi = 3 $.

Die Existenz von $ \ pi $ (das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser) wurde von Archimedes rigoros bewiesen. Er berechnete es auch ungefähr. Für viele Jahrhunderte wurde es die "Archimedes-Zahl" genannt.

Im Laufe der Jahrhunderte berechneten sie es mit immer größerer Genauigkeit. Heute sind mehr als eine Milliarde Dezimalstellen und mehr bekannt. 1990 gab es im New Yorker Magazin einen interessanten Artikel über die Brüder Chudnovskii, die die ersten Milliarden Ziffern auswerteten. (Mit einem riesigen Computer, den sie speziell für diesen Zweck zusammengestellt haben).

$ \ pi $ ist eine transzendentale Zahl, daher können Sie sie nicht genau "auswerten" (es gibt keinen endlichen oder periodischen Dezimalausdruck (oder einen anderen) Ausdruck ). Dies wurde 1882 von Lindemann bewiesen.

Bemerkung. Lassen Sie mich auch hinzufügen, dass es im 19. Jahrhundert eine Kurbel gab, die "bewies", dass $ \ pi = 4 $. Ich denke, dies ist in der Guinness-Buch der Rekorde als der WENIGSTE genaue Wert von $ \ pi $, der jemals vorgeschlagen wurde. Er bot seine Arbeit dem Bundesstaat Indiana als Geschenk an. Das Parlament von Indiana musste entscheiden, ob es das Geschenk annehmen sollte. Sie konnten sich nicht entscheiden. Die Entscheidung wurde verschoben. Sie wird immer noch verschoben.

Dies gibt einigen bösen (oder nicht informierten) Menschen einen Grund zu sagen, dass "das Parlament von Indiana das $ \ pi = 4 $ GESETZGEBEN hat". Glauben Sie diesen Leuten nicht.

BEARBEITEN: Mein Fehler: Euklid war sicherlich bekannt, dass $ \ pi $ existiert. Conifold: Danke für die Korrektur. Um dieselbe Bemerkung von Conifold anzusprechen: Euklid und Archimedes (und möglicherweise Eudoxus) haben sicherlich perfekt verstanden, was eine "reelle Zahl" ist, obwohl sie eine etwas andere Terminologie von "Proportionen" verwendeten. Die Proportionalitätstheorie von Euklid entspricht der Theorie der reellen Zahlen.

Zur Unterhaltung: https://en.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill, http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm, http: // www. agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/Indiana_Pi_Story.htm
Archimedes bewies nicht die "Existenz" von $ \ pi $, für ihn war es nicht einmal eine Zahl. Er formulierte seine Ergebnisse wie alle anderen griechischen Geometer in Größenverhältnissen. Selbst wenn wir griechische Verhältnisse in "Zahlen" modernisieren, ist der "Beweis" bereits in Euklids Elementen enthalten und wird normalerweise Eudoxus zugeschrieben. Http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXII/propXII2.html Größere Schätzungen in Bezug auf eingeschriebene / umschriebene Polygone wurden auch vor Archimedes gemacht.
Alexandre Eremenko, @HDE226868, kennt ihr andere Versuche als Indiana Pi Bill? [Indiana Pi Bill: Andere Versuche, die mathematische Wahrheit durch gesetzgeberisches Fiat festzustellen?] (Https://hsm.stackexchange.com/questions/7347/)
Ihre Präsentation der Indiana Pie-Rechnung ist nicht ganz korrekt. Das Haus hat es tatsächlich bestanden; Der Senat ist derjenige, der ihn blockiert hat, nach einigen Aufklärungsarbeiten im Hintergrund durch betroffene Intellektuelle und viel öffentlicher Gegenreaktion / Spott in der Presse.
iPherian
2015-01-27 22:55:26 UTC
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Da in der Frage ausdrücklich "zu jeder Genauigkeit" steht, gehe ich davon aus, dass Sie auch Annäherungen meinen.

In diesem Fall stammt die erste aufgezeichnete Annäherung von $ \ pi $ von den Babyloniern, die dies nicht tun Ich hatte nur das Bewusstsein, dass es sich um eine bestimmte Konstante handelt, und hatte ihren Wert auf $ 3 \ frac {1} {8} $ oder $ 3.125 $ angenähert. Dies wird in einer Tafel aufgezeichnet, die in der Nähe von Susa aus dem Jahr 2000 v. Chr. Liegt.

Sowohl die Ägypter als auch Archimedes hatten einen Wert dafür, aber diese stammen aus einer viel späteren Zeit.

Aus dem Rhind Papyrus aus der Zeit um 1650 v. Chr. finden wir eine ägyptische Schreibmethode, um die Fläche eines Kreises zu erhalten, die der Verwendung des Wertes $ \ pi = 3 \ frac {1} {6 entspricht } $ oder $ 3.166 $ wiederholen. Dies ist vielleicht fast so gut wie die babylonische Annäherung, aber die Ägypter hatten offenbar kein Bewusstsein dafür, dass es sich um eine bestimmte Konstante handelt. Dies ist lediglich der effektive Wert, der sich aus ihrer Methode ergibt.

Von Archimedes Es wird eine Annäherung von $ \ pi $ angegeben, die genauer ist als die ägyptische oder babylonische, aber diese stammt aus fast 2000 Jahren nach dem aufgezeichneten babylonischen Wert.

Du bist ein bisschen zu spät zur Party ... Conifolds Antwort ist gut genug
Nun, es ist Ihre Frage, aber Sie haben speziell nach Archimedes gegen Babylon gegen Ägypten gefragt, und Conifold hat die Babylonier ausgelassen, obwohl sie vor Archimedes oder Antiphon oder Eudoxus oder anderen Griechen eine Annäherung von fast einem Jahrtausend hatten. In der Tat war das mathematische Zentrum der Welt an einem Punkt Babylon. Danach verlagert es sich langsam nach Ägypten und danach nach Griechenland und ins Mittelmeer. Die Antwort mit der höchsten Abstimmung hat meiner Meinung nach zwei ganze Perioden vernachlässigt.
user6039
2017-07-13 01:40:27 UTC
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Hier gibt es eine großartige Zusammenfassung hier, die den Grad der Genauigkeit mit der Chronologie enthält, wenn Sie daran interessiert sind.

Berechnungen von π

  Mathematiker Datum Orte Kommentare 1 Rhind papyrus 2000 v. Chr. 1 3.16045 (= 4 (8/9) 2) 2 Archimedes 250 v. Chr. 3 3.1418 (Durchschnitt der Grenzen) 3 Vitruvius 20 v 1 3,125 (= 25/8) 4 Chang Hong 130 1 3,1622 (= √10) 5 Ptolemäus 150 3 3,141666 Wang Fan 250 1 3,155555 (= 142/45) 7 Liu Hui 263 5 3,141598 Zu Chongzhi 480 7 3,141592920 (= 355 / 113) 9 Aryabhata 499 4 3.1416 (= 62832/20000) 10 Brahmagupta 640 1 3.1622 (= √10) 11 Al-Khwarizmi 800 4 3.141612 Fibonacci 1220 3 3.14181813 Madhava 1400 11 3.1415926535914 Al-Kashi 143 0 14 3,1415926535897915 Otho 1573 6 3,141592916 Viète 1593 9 3,141592653617 Romanos 1593 15 3,14159265358979318 Ludolph Van Ceulen 1596 20 3,1415926535897932384619 Ludolph Van Ceulen 1596 35 3.141592653589793238462643383279502920 Newton 1665 16 3,141592653589793221 Sharp 1699 71 22 Seki Kowa 1700 10 23 Kamata 1730 25 24 Machin 1706 100 25 De Lagny 1719 127 Nur 112 richtig26 Takebe 1723 41 27 Matsunaga 1739 50 28 von Vega 1794 140 Nur 136 richtig29 Rutherford 1824 208 Nur 152 richtig30 Strassnitzky 1844 200 31 Clausen 1847 248 32 Lehmann 1853 261 33 Rutherford 1853 440 34 Shanks 1874 707 Nur 527 richtig
35 Ferguson 1946 620  

Computerberechnungen von π

  Mathematiker Datum Orte ComputertypFerguson 1947 710 SchreibtischrechnerFerguson, Schraubenschlüssel 1947 808 SchreibtischrechnerSmith, Wrench 1949 1120 SchreibtischrechnerReitwiesner et al. 1949 2037 ENIACNicholson, Jeenel 1954 3092 NORACFelton 1957 7480 PEGASUSGenuys Jan 1958 10000 IBM 704 Felton Mai 1958 10021 PEGASUSGuilloud 1959 16167 IBM 704Shanks, Wrench 1961 100265 IBM 7090Guilloud, Filliatre 1966 250000 IBM 7030Guillu 76 B, 8000 Kanada 1981 2000036 FACOM M-200Guilloud 1982 2000050Tamura 1982 2097144 MELCOM 900IITamura, Kanada 1982 4194288 HITACHI M-280HTamura, Kanada 1982 8388576 HITACHI M-280HKanada, Yoshino, Tamura 1982 16777206 HITACHI M-280HUshiro 17526200 SYMBOLICS 3670Bailey Jan 1986 29360111 CRAY-2Kanada, Tamura 1986 33554414 HITACHI S-810 / 20Kanada, Tamura 1986 67108839 HITACHI S-810 / 20Kanada, Tamura, Kubo 1987 134217700 NEC SX-2Kanada, Tamura 1988 201.326.551 HITACHI S-820 / 80Chudnovskys 1989 480000000Chudnovskys 1989 525229270Kanada, Tamura 1989 536870898Chudnovskys 1989 1011196691Kanada, Tamura 1989 1073741799Chudnovskys 1991 2260000000Chudnovskys 1994 4044000000Kanada, Tamura 1995 3221225466Kanada 1995 4294967286Kanada 1995 6442450938Kanada, Takahashi 1997 51539600000 HITACHI SR2201 Kanada, Takahashi 1999 206158430000 HITACHI SR
 


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