Frage:
Was ist die Geschichte der Treppe oder = 4 Paradoxon?
buckner
2019-12-15 23:10:07 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Das Treppenhaus-Paradoxon wurde hier und anderswo einige Male diskutiert (Suche nach Treppenhaus + Paradoxon).

Meine Frage ist, ob dieses Rätsel in der akademischen Literatur oder historisch in der Mathematik diskutiert wurde. Ich kann nur in Foren einen Verweis darauf finden, aber ich möchte in einem Artikel darauf verweisen.

Ich erinnere mich, dass ich irgendwo gelesen habe (eine aktuelle Veröffentlichung, da ich glaube, sie in den 1980er Jahren gelesen zu haben), dass Lebesgue von diesem "Paradoxon" fasziniert war und anscheinend die Runde unter Studenten und Fakultäten machte, als Lebesgue Student war (Mitte der 1890er Jahre), aber es ist sicherlich viel älter als das. Ich habe darüber einmal in der ap-calculus-Diskussionsgruppe im Math Forum geschrieben, aber es scheint, dass derzeit keiner der Beiträge im Math Forum verfügbar ist. Ein Großteil dieses speziellen Beitrags ist jedoch auch [hier] zu finden (https://pballew.blogspot.com/2011/03/for-pi-day-pi-equals-four.html).
Übrigens taucht dieser nicht kontinuierliche Aspekt der Kurvenlänge tatsächlich bei der Untersuchung der allgemeinen Relativitätstheorie und der Schwarzen Löcher auf - siehe die Kommentare zu [Untere Halbkontinuität der Länge des Graphen: $ L (g) \ le \ liminf_ {n \ to \ infty} L (f_n) $] (https://math.stackexchange.com/q/1793172/13130). Siehe auch [Das Treppenparadoxon oder warum $ \ pi \ ne4 $] (https://math.stackexchange.com/q/12906/13130) und die vielen [damit verbundenen Fragen] (https: //math.stackexchange) .com / question / linked / 12906? lq = 1).
Vielen Dank an alle, die ich mir ansehen werde.
Dave, eine weitere Frage. Wenn wir die Treppe auf den Boden legen, dh die x-Achse, so dass sie im diskreten Fall von y = 0 nach oben und dann wieder zur x-Achse zurückkehrt, dann liegt an der Grenze jeder Punkt auf der Treppe bei y = 0 ? Das scheint wirklich bizarr.
Das klingt ähnlich wie der "Beweis des Satzes von Pythagoras". Ich denke, das war der Name, auf den ich gestoßen bin. Vielleicht kann ich einen Link finden ... Nun, sicherlich ist https://math.stackexchange.com/q/1677958/36530 ziemlich relevant. Ich gebe in Kalkül II oft eine Version davon, um zu zeigen, warum die Definition und Präzision von Konzepten wesentlich ist, um widersprüchlichen Unsinn zu vermeiden.
* Das scheint wirklich bizarr * --- Dies ist einfach eine Folge der Tatsache, dass "einschränkende Verhaltenseigenschaften" manchmal von den Eigenschaften der sich nähernden Objekte abweichen können. Sie können beispielsweise leicht eine Folge endlicher Punktmengen in einer Ebene definieren, die (in fast jedem vernünftigen Sinne) auf die Ebene selbst beschränkt ist (hier jedoch nicht genügend Platz, um ein solches Beispiel zu beschreiben). In diesem Fall ist jedes der Objekte eine endliche und diskrete Menge von Punkten, aber die Grenze ist eine kontinuierliche und unendliche Ebene.
Ich erinnere mich an die erste Lesung vor vielleicht 25 Jahren in dem Buch "Auf der Suche nach der Unendlichkeit" von Vilenkin.
Zwei antworten:
Conifold
2019-12-16 08:07:39 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Der Name "Treppenparadoxon" (oder "Pythagoras-Paradoxon") scheint neu zu sein, daher ist es schwierig, danach zu suchen. Wolfram nennt es "diagonales Paradoxon", aber das könnte es mit einem anderen Paradoxon aufgrund von Leibniz in Verbindung bringen, mit dem er gegen die tatsächliche Existenz von Unteilbaren argumentierte, siehe Die philosophischen Annahmen, die Leibniz zugrunde liegen Verwendung des diagonalen Paradoxons im Jahre 1672. Die horizontale Zick-Zack / Sägezahn-Variante scheint älter zu sein, berichtet Lebesgue bereits in den 1890er Jahren. Mathpages nennt es Limit Paradox und Lukowski (S.13) Paradox der Approximation. Kochs Schneeflockenkonstruktion (1904) verwendet eine verwandte Idee, ebenso wie Mandelbrots "Küstenparadoxon", das er Richardson (1961) zuschreibt. 1890 gab Schwarz eine Konstruktion, die als clevere 2D-Verallgemeinerung des Sägezahnparadoxons angesehen werden kann, von polyedrischen Oberflächen, die in einen Zylinder eingeschrieben sind und zu diesem konvergieren ( Schwarzlaternen), wobei die Oberflächen wachsen unendlich, siehe Oberfläche und das Zylinderflächen-Paradoxon.

Freund in Zahlen: Spaß & Fakten (1954), S.72 gibt das Sägezahn-Paradoxon unter dem Titel "das Feld der Gerste". Lakoff und Núñez in Woher Mathematik kommt (2000) diskutieren eine Variation mit Halbkreisen als "klassisches Paradox der Unendlichkeit". Es "zeigt", dass $ π = 2 $ span>. Ihre Version erscheint zusammen mit der Sägezahnversion, die zeigt, dass $ 2 = 1 $ span>, in Paradoxes and Sophisms in Calculus, S. 30-31. 1997 gab es eine lebhafte pädagogische Diskussion in MAA-Zeitschriften, siehe On Arc Length von Barry und Referenzen darin. Barbeau im Abschnitt "Irrtümer, Fehler und Flimflam" von CMJ erwähnt die Lebesgue-Geschichte, an die sich Dave Renfro wahrscheinlich erinnert:

" Eine Anfrage an die Newsgroup-Mathematik -history-list@maa.org löste Antworten von aus John Conway, Roger Cooke, Mark McKinzie und Rick Otten, die die folgenden Referenzen lieferten. LC Young [7, 8] zitiert eine Anekdote aus Lebesgues Buch In the Margin of the Calculus of Variations, in der das Paradoxon am College de Beauvais als "Witz" dargestellt wurde. "

Das Buch von Young ist Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory (1981), S.152, und er zitiert Lebesgue direkt (siehe Bild unten):

" Alle meine Papiere [zu diesem Thema] sind mit dem 'Witz' eines Schülers verbunden. Am College de Beauvais haben wir gezeigt, dass in einem Dreieck eine Seite gleich der Summe der beiden anderen ist. Sei $ ABC $ span> ein Dreieck. Wenn $ A_1, B_1, C_1 $ span> die Mittelpunkte seiner Seiten sind, haben wir $$ BA + AC = BC_1 + C_1A_1 + A_1B_1 + B_1C. $$ span> Gehen Sie für jedes der Dreiecke $ BC_1A_1, A_1B_1C $ span> wie bei $ ABC $ span>. Wir erhalten eine gestrichelte Linie, die aus acht Segmenten besteht und $ BA + AC $ span> entspricht. Wenn wir auf diese Weise fortfahren, erhalten wir eine Folge von unterbrochenen Linien, die immer weniger von der Seite $ BC $ span> abweichen und die immer noch die Summe der zwei andere Seiten unseres ursprünglichen Dreiecks. Die Schüler von Beauvais folgerten daraus, dass das Segment BC, die geometrische Grenze unserer unterbrochenen Linien, als Länge die Summe der beiden anderen Seiten $ BA + AC $ span> hatte . Meine Schulkameraden sahen dort nur einen guten Witz. Das Argument erschien mir am beunruhigendsten, da ich keinen Unterschied zwischen ihm und Beweisen in Bezug auf die Bereiche und Oberflächen von Zylindern, Kegeln, Kugeln und die Länge eines Umfangs feststellen konnte. "

Lebesgues En marge du calcul des Variationen scheint nicht ins Englische übersetzt zu sein. Es wurde erst nach seinem Tod gefunden und 1963 veröffentlicht. Vier der sechs Kapitel wurden zuvor als Artikel veröffentlicht.

Am Ende bezieht sich Lebesgue wahrscheinlich auf die klassischen Approximationen von Bogenlängen und Oberflächen durch die "Erschöpfungsmethode". In der Variationsrechnung wurde zu dieser Zeit aktiv an dem isoperimetrischen Problem gearbeitet, das verwandte analytische Probleme aufwirft. Es stellte sich heraus, dass die klassischen Beweise von Zenodorus bis Steiner Lücken hinsichtlich der Existenz von Grenzwerten aufwiesen. Weierstrass und Edler gaben 1879 und 1882 erste strenge Beweise für Kurven und 1890 Schwarz für Oberflächen.

enter image description here

* da ich keinen Unterschied zwischen ihm und Beweisen in Bezug auf die Bereiche und Oberflächen von Zylindern, Kegeln, Kugeln und die Länge eines Umfangs feststellen konnte * --- Ich erinnere mich definitiv an diesen Teil in dem, was ich vor vielen Jahren gelesen habe, weil ich Denken Sie daran, dass Lebesgue in diesem Teil erklärte, wie dieselbe Art von Argumentation (hier eindeutig falsch) an anderer Stelle verwendet wurde. Ich hätte es vielleicht in Kenneth O. Mays biographischem Aufsatz in der Übersetzung von Lebesgues [** Measure and Integral **] von 1966 (https://www.amazon.com/dp/B0006BOPSG) gesehen, aber ich besitze keine Kopie dieses Buches, daher kann ich das jetzt nicht überprüfen.
Bezüglich des Schwarzgebietsproblems siehe auch [diese Anmerkung] (http://fredrickey.info/hm/CalcNotes/schwarz-paradox.pdf) von V. Frederick Rickey für eine sehr schöne und detaillierte historische Diskussion. Einen Hinweis auf spätere Entwicklungen, die sich daraus ergeben, finden Sie in meiner Antwort auf [Wie ist der Bereich definiert?] (Https://math.stackexchange.com/a/2519839/13130).
@DaveLRenfro Haben Sie zufällig Zugriff auf * En marge du calcul des Variation *? Ich frage mich, wo genau dieses Zitat vorkommt. Der erste Satz klingt wie aus einem Vorwort, aber wenn nicht, hätte er die Geschichte vielleicht in einem dieser zuvor veröffentlichten Artikel geteilt.
Nein, ich habe keine Kopie und ich nahm an, dass Sie danach gegoogelt haben. [Eine Google Scholar-Suche] (https://scholar.google.com/scholar?q=%22Lebesgue%22+%22En+marge+du+calcul+des+variations%22) wurde [diese Bewertung] (https: //www.jstor.org/stable/3614002) in ** Mathematical Gazette ** (dessen erste Seite frei verfügbar ist, wenn die Suche in Google Scholar durchgeführt wird), falls Sie interessiert sind.
@Spencer Ich wollte die Auflösung des Paradoxons nicht diskutieren, dies wird bereits ausführlich in Math SE durchgeführt. Das Problem ist, dass eine einheitliche Konvergenz keine Konvergenz von Derivaten impliziert, die in die Längenformel eingegeben werden. Dass die Derivate dann integriert werden, ist ein Nebenproblem, und das Riemann- oder sogar Cauchy-Integral reicht dort aus. Lebesgue hat einige Arbeiten zur Isoperimetrie durchgeführt, die möglicherweise damit zusammenhängen (ich konnte den Zusammenhang noch nicht feststellen), aber seine Maßtheorie ist tangential dazu.
@Spencer: Zur Lösung des "Paradoxons" ist nichts spezifisch Relevantes für die Messtheorie erforderlich. Es ist einfach eine Tatsache, dass die Standardmethode zum Zuweisen von Längen zu Kurven die Eigenschaft hat, dass zwei Kurven beliebig nahe beieinander liegen können, ohne dass ihre Längen nahe beieinander liegen. Im Übrigen gibt es mehrere Möglichkeiten zu definieren, was es bedeutet, dass Kurven "nahe beieinander" liegen, und für einige dieser Möglichkeiten (z. B. [1] (https://math.stackexchange.com/a/524634/13130). und [2] (https://math.stackexchange.com/a/1812136/13130)) ** es ist wahr **, dass Kurven, die nahe beieinander liegen, Längen haben, die nahe beieinander liegen.
Dave L Renfro
2020-01-18 22:37:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dies ist eine Fortsetzung einiger meiner Kommentare zum OP und der Antwort, die @Conifold gegeben hat. Vor einigen Tagen kaufte ich eine Kopie des von mir erwähnten Buches Measure and the Integral von Lebesgue (1966). Ich hatte Recht, dass ich in diesem Buch vor vielen Jahren (1980er, möglicherweise sogar Ende der 1970er Jahre) über Lebesgues Faszination für dieses „Paradoxon“ gelesen hatte. Entgegen meiner Meinung wird Lebesgues Faszination jedoch nicht in Kenneth O. Mays biografischem Aufsatz diskutiert, sondern in Abschnitt 66 auf den Seiten 97-98. Wer mehr über diese Themen bezüglich Bogenlänge und Oberfläche erfahren möchte, findet Kapitel V: Kurvenlängen. Bereiche von Oberflächen (Abschnitte 62-83; S. 92-124) besonders lehrreich. Im Folgenden finden Sie den gesamten Abschnitt 66, gefolgt von einigen bibliografischen Informationen zu diesem Buch von 1966.

66 Ein ähnliches Paradoxon für Längen . $ \; \; \; \; $ span> Wenn Mathematiker nicht durch das Wort "eingeschrieben" hypnotisiert worden wären, wenn sie nicht vergessen hätten, dass die Beschriftung nur als eine gewählt wurde Bei der Annäherung hätten sie gesehen, dass die Schwierigkeit für Flächen gleichermaßen für Kurven bestand. Gerade dieser Unterschied zwischen Kurven und Flächen war am schockierendsten. Gestatten Sie mir, auf meine eigenen Erinnerungen zu verweisen.

Als ich ein Schüler war, wurde in Frankreich, wie ich bereits sagte, vereinbart, dass man Längen, Flächen und Volumen bewerten kann, indem man an die Grenze geht. Bald tauchten Zweifel in den Lehrbüchern auf. Die Schüler, die Schwarzs Einwände in Hermites Analysekurs gehört hatten, waren nun wiederum Lehrer geworden. Außerdem veranlasste uns dann alles zu einer kritischen Analyse von Konzepten: Untersuchungen zu Funktionen einer realen Variablen und zu Mengen, die die Leute zu berücksichtigen begannen, Gerbereierehre, die bei vielen seiner Schüler den Wunsch nach vollständigem Verständnis oder zumindest geweckt hatte verbale Präzision. Die Leute begannen zu zweifeln, manchmal ohne zu wissen, woran sie zweifelten. Beispielsweise wurde die Bestimmung der Fläche eines Kreises anhand der Flächen der darin enthaltenen oder enthaltenen Polygone (siehe Abschnitt 42) mit einem Argument über Grenzen verwechselt.

Früher, als ich ein Schüler war, waren die Lehrer und Schüler mit dieser Argumentation zufrieden, indem sie an ihre Grenzen gingen. Es befriedigte mich jedoch nicht mehr, als einige meiner Schulkameraden mir ungefähr in meinem fünfzehnten Lebensjahr zeigten, dass eine Seite eines Dreiecks gleich der Summe der beiden anderen ist und dass $ \ pi = 2. $ span> Angenommen, $ ABC $ span> ist ein gleichseitiges Dreieck und $ D, $ span> $ E, $ span> und $ F $ span> sind die Mittelpunkte von $ BA, $ span> $ BC, $ span> und $ CA. $ span> Die Länge von Die gestrichelte Linie [= polygonaler Pfad] $ BDEFC $ span> ist $ AB + AC. $ span> Wenn wir dies wiederholen Prozedur mit den Dreiecken $ DBE $ span> und $ FEC, $ span> erhalten wir eine gestrichelte Linie gleicher Länge bis zu acht Segmente usw. Jetzt haben diese gestrichelten Linien $ BC $ span> als ihre Grenze und damit die Grenze ihrer Längen, dh ihre gemeinsame Länge $ AB + AC, $ span> ist gleich $ BC. $ span> Die Argumentation in Bezug auf $ \ pi $ span> ist analog.

Nichts , absolut nichts, unterscheidet diese Argumentation von dem, was wir verwendet haben, um den Umfang und die Fläche eines Kreises, die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders, eines Kegels und einer Kugel zu bewerten. Dieses Ergebnis war für mich äußerst lehrreich.

Außerdem ist jedes Paradoxon sehr lehrreich. Meiner Meinung nach sollten die kritische Auseinandersetzung mit Paradoxien und die Korrektur fehlerhafter Überlegungen Standardübungen sein, die häufig auf der Sekundarstufe wiederholt werden.

Das vorstehende Beispiel zeigt, dass das Überschreiten der Grenze für Längen, Bereiche oder Volumen eine Begründung erfordert und wie das Beispiel von Schwarz ausreicht, um alle Verdächtigungen zu wecken.

Henri Léon Lebesgue (1875-1941), Maßnahme und das Integral , herausgegeben mit einem biografischen Aufsatz von Kenneth Ownsworth May (1915-1977), The Mathesis Series, Holden-Day, 1966, xii + 194 Seiten.

Dieses Buch ist eine englische Übersetzung von zwei Werken von Lebesgue. Das erste Werk befindet sich auf den Seiten 12-175 und das zweite auf den Seiten 178-194.

Das erste Werk wurde ursprünglich in L'Enseignement Mathématique mit dem Titel veröffentlicht Sur la mesure des grandeurs und besteht aus einer Einführung und 8 Abschnitten, die in 6 Teilen veröffentlicht wurden: (i) L'E. M. (1) 31 # 2 (1932), S. 173-206 [ Introduction (S. 173-174); I. Vergleich der Sammlungen; Nombres Entiers (S. 175-181); II. Longueurs; Nombres (S. 182-206)]. (ii) L’E. M. (1) 32 # 1 (1933), S. 23-51 [ III. Aires (S. 23-51)]. (iii) L’E. M. (1) 33 # 1 (1934), S. 22-48 [ IV. Volumes (S. 22-48)]. (iv) L’E. M. (1) 33 # 2 (1934), S. 177-213 [ V. Longueurs des Courbes. Aires des Surfaces (S. 177-213)]. (v) L’E. M. (1) 33 # 3 (1934), S. 270-284 [ VI. Grandeurs Mesurables (S. 270-284)]. (vi) L’E. M. (1) 34 # 2 (1935), S. 176-219 [ VII. Intégration et Dérivation (S. 176-212); VIII. Schlussfolgerungen (S. 212-219)]. [[ Hinweis: „(1) 33 # 3“ bedeutet „Serie 1, Band 33, Ausgabe 3“. Ich kenne die genauen Daten der Ausgaben nicht oder auch nicht, ob solche genaueren Daten existieren, daher sind die Jahre für die Bände.

Das erste Werk wurde 1956 von Gauthier-Villars (Paris) und L'Enseignement Mathématique (Genf) als Buch mit dem Titel Sur la Mesure des Grandeurs veröffentlicht (iv + 184 Seiten), der 1975 von Albert Blanchard (Paris) mit dem Titel La Mesure des Grandeurs nachgedruckt wurde (iv + 184 Seiten).

Das zweite Werk ist die veröffentlichte Version eines Konferenzvortrags, den Lebesgue am 8. Mai 1926 in Kopenhagen hielt und der ursprünglich unter dem Titel Sur le développement de la concept d'intégrale veröffentlicht wurde in Matematisk Tidsskrift B [ nach 1952 : Mathematica Scandinavica ] 1926 (1926), S. 54-74 und mit demselben Titel nachgedruckt in Revue de Métaphysique et de Morale 34 # 2 (April-Juni 1927), S. 149-167, ins Spanische übersetzt und in veröffentlicht Revista Matemática Hispano-Americana mit dem Titel Evolución de la noción de Integral und veröffentlicht in 2 Teilen: (i) R. M. H.-M. (2) 2 # 3 (März 1927), S. 65-74. (ii) R. M. H.-M. (2) 2 # 4 (April 1927), S. 97-106.

Buchbesprechungen, von denen ich weiß: Truman Arthur Botts, Science (NS) 155 # 3765 (24. Februar 1967), p. 992; A. S. G., Current Science 36 # 7 (5. April 1967), p. 194; Thomas William Hawkins, American Mathematical Monthly 75 # 6 (Juni-Juli 1968), S. 696-697; Roger Philip Rigelhof, Canadian Mathematical Bulletin 11 # 5 (Dezember 1968), S. 753-754; Mark Edward Noble, Mathematical Gazette 52 # 382 (Dezember 1968), 412-413; André Reix, Revue Philosophique de la France und de l'Étranger 166 # 4 (Oktober-Dezember 1976), 437-438 (auf Französisch).

"Jedes Paradoxon ist sehr lehrreich". Erinnern Sie sich an Russells Bemerkungen zum russischen Friseurparadoxon. Einige sahen darin Spielplatzlogik, Russell untergrub Freges Logikprogramm.


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 4.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
Loading...