Frage:
Berechnung von Gauß, die zu einer 18: 7-Resonanz zwischen den Umlaufbahnen von Jupiter und Pallas führt
KCd
2015-05-14 01:20:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nachdem Gauß bei der Verlagerung von Ceres geholfen hatte, untersuchte er die Umlaufbahn des Asteroiden Pallas und entdeckte (1812), dass Jupiter und Pallas eine Orbitalresonanz haben, die nahezu 18: 7 entspricht. Unter Verwendung der modernen Schätzungen ihrer Umlaufzeiten von 4332,59 Tagen bzw. 1684,87 Tagen hat ihr Verhältnis beispielsweise die Fraktionsexpansion $ [2,1,1,2,1,511,2, \ ldots] $ fortgesetzt, was ganz klar gut angenähert ist um $ [2,1,1,2,1] = 18/7 $. Natürlich hatte Gauß nicht die modernen Werte für die Umlaufzeiten. Wenn wir die gröberen Schätzungen von 4333 und 1685 verwenden, erhalten wir ein Verhältnis mit fortgesetzter Bruchtexpansion $ [2, 1, 1, 2, 1, 240, 113, \ ldots] $, das wiederum durch $ [2 angenähert werden muss , 1,1,2,1] $.

Meine Fragen:

  1. Wie hoch war das von Gauß berechnete Verhältnis, das er dann als fast 18/7 feststellte? Vielleicht war es nicht die Umlaufzeit direkt, sondern ein anderes astronomisches Maß, dessen Verhältnis sich auf dasselbe auswirken würde.
  2. Hat er fortgesetzte Brüche verwendet oder war seine große Vertrautheit mit Dezimalerweiterungen "kleiner" Brüche ausreichend ? Ich denke, dieses Beispiel ist ein wirklich super Beispiel für fortgesetzte Brüche, aber ich würde gerne sicher wissen, ob Gauß das Problem so angegriffen hat.
  3. ol>

    Ich kann eine Reihe von Quellen finden, die diese Resonanz diskutieren , aber sie erwähnen den Wert 18/7, ohne die dahinter stehende Gaußsche Berechnung anzugeben (dh welches Verhältnis schätzte er als 18/7), und sie geben auch seine Methode nicht an.

7 und 18 sind Lucas Nummer, also war Gauss wohl 18/7 vertraut
Und Gauß war (viel mehr als) mit fortgesetzten Brüchen vertraut, siehe zum Beispiel http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_continued_fraction
@VicAche, Diese Arbeit von Gauß war in den frühen 1800er Jahren und Lucas arbeitete in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts, so dass Ihr Kommentar zu Lucas Zahlen nicht plausibel ist. Mir ist klar, dass Gauß mit fortgesetzten Brüchen sehr vertraut war (ich bin ein Zahlentheoretiker), aber nur weil fortgesetzte Brüche ein idealer Weg sind, um eine gute rationale Annäherung zu finden, weiß ich nicht, ob Gauß dieses Problem wirklich so angegangen ist. Gauß kannte auch Dezimalerweiterungen sehr gut (sein Disq. Arith. Hat eine Hauptbehandlung von ihnen). Wenn ihn Daten auf 2.57151 führten, hätte er "sehen" können, dass es nahe 18/7 = 2.57142 ist ...
Angesichts der Arbeit von Gauss an Fibonacci werden Sie zugeben, dass es sehr unwahrscheinlich ist, dass er nichts über die Lucas-Nummer wusste, natürlich unter einem anderen Namen.
Die Antwort ist hier (oder so scheint es, es ist auf Deutsch) https://groups.google.com/forum/#!topic/de.sci.mathematik/s3khftjGVS8
@VicAche, danke für diesen Link! Es ist interessant, dass das Studium der Bewegung von Pallas eines der Probleme war, bei denen Gauß später als Fast Fourier Transform wiederentdeckt wurde! Ich fand das zu Beginn von Abschnitt 28 unter https://archive.org/stream/werkecarlf03gausrich#page/n321/mode/2up (das Papier beginnt auf S. 265 dieses Bandes seiner Werke).
Nicht direkt relevant, aber das Verhältnis 18: 7 ist nicht genau und es besteht eine gute Chance, dass es sich nur um Numerologie handelt.
@DavidHammen, sogar die Daten legen nahe, dass das Verhältnis nicht genau ist, sondern nur eine ungewöhnlich gute Annäherung.
Einer antworten:
Francois Ziegler
2015-05-14 04:12:31 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Gauß 'Verhältnis war das der mittleren Bewegungen $ \ mathit {[M]} $ (⚴) und $ \ mathit {[M']} $ (♃) von Pallas und Jupiter. (Anstelle dieser Buchstaben verwendete er Planetensymbole, die in ihrer Unicode-Version in Klammern angegeben sind.)

Wie in seinem Nachlass ( Werke, vol. 7, egp 553) drückte er die Störungen von Pallas-Elementen als Summen von Dutzenden trigonometrischer Terme $ A \ sin (k \ mathit {[M '] - \ ell [M]} + \ delta) $ aus . Auf p. 604 Kommentar der Redaktion:

Auf einem der Blätter, die die Integration der Störungen der Epoche $ \ varepsilon $ enthalten, findet man die folgende kleine Berechnung, in der die erste Die angegebene Zahl ist Pallas 'mittlere Bewegung $ \ mathit {[M]} $: $$ \ begin {collect} \ mathit {769' ', 202079} \\\ textit {das 7-fache} = \ mathit {5384' ', 414553} \\\ unterstreichen {\ mathit {18 \ m. m. [M '] = 5384' ', 392272}} \\\ mathit {18 [M'] - 7 [M] = -0,022281} \ end {collect} $$ Dies scheint der einzige Hinweis auf den ersten zu sein Schritt in Gauß 'Entdeckung der Verhältnismäßigkeit beider Perioden; Daraus kann man jedoch nicht mehr schließen, als dass er gerade die Menge $ \ mathit {18 [M '] - 7 [M]} $ als extrem klein empfunden hat.

Ich habe gelesen Dies bedeutet, dass dies ("kleiner Teiler"?) so auffällig ist, wie es ist, numerisch unter den $ \ mathit {k [M '] - \ ell [M]} $, die er war Betrachten, ohne dass ein Appell an z. B. fortgesetzte Brüche erforderlich ist.

Danke für diese Information! Ab p. 553 unter Ihrem Link finde ich auf den Seiten 557-558 die Zahlen 18 und 7, die herumschweben. Was wird im ersten Absatz auf S. 22 besprochen? 557? Auf P. 558 Ich sehe im zweiten Absatz, dass er das rationale Verhältnis 7/18 hervorhebt, und ich sehe in der Mitte der Seite $ n '= 299.12817 $ und $ n = 769.16512 $ (nicht ganz die $ 769.202079 $, die Sie aus dem Kommentar des Herausgebers zitieren S. 604), wobei $ 18n '$ und $ 7n $ beide 5384 plus ein kleines bisschen sind.
Der Eindruck, den ich durch das Betrachten verschiedener Referenzen über Resonanzen bekommen habe, ist, dass arbeitende Wissenschaftler sie größtenteils nicht mit fortgesetzten Brüchen entdecken.
@KCd: Der obere Teil von S.557 sagt ungefähr: "Es wurde bereits in Artikel 19 der Ausstellung festgestellt, dass Pallas ein Beispiel für eine rationale Beziehung der mittleren Bewegungen * n * und * n '* bietet; tatsächlich sind die mittleren Bewegungen von Pallas und Jupiter in genau das Verhältnis 18: 7, damit sich diese Beziehung immer wieder genau reproduziert. In diesem Artikel werden die vom Argument 18 [M '] - 7 [M] abhängigen Begriffe für die praktische Berechnung in weltlicher Form angegeben, während die genaue Integration Gegenstand, durch den sich die periodische Form reproduziert, ist Gegenstand des nächsten Artikels. " Leider kann ich diese "Art. 19" nicht finden ...


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
Loading...