Frage:
Was ist der Ursprung von Polynomen und Notation für sie?
hjhjhj57
2015-07-07 10:16:11 UTC
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Dies mag eine ziemlich breite Frage sein, aber in letzter Zeit habe ich mich über die Geschichte hinter Polynomen gewundert. Heutzutage sind dies so ziemlich die einfachsten Funktionen, mit denen man arbeiten kann, aber ich würde gerne wissen, wie es dazu kam.

Ich würde auch gerne wissen, wer (wahrscheinlich) der Erste war, der praktische Probleme in die Lösung von Polynomgleichungen umsetzte, ohne geometrische Methoden wie die Griechen zu verwenden, sondern etwas, das dem modernen Ansatz näher kommt.

In dieser Antwort erwähnt Conifold, dass indische Wissenschaftler einige Taylor-Reihen bereits um das fünfte Jahrhundert kannten, sodass die Bedeutung von Polynomgleichungen bereits zu diesem Zeitpunkt bekannt war. Andererseits glaube ich, dass Griechen nichts davon wussten (ich weiß, dass diese Behauptung zu weit gefasst ist).

Zusammenfassend:

Was führte zu der Erkenntnis, dass Polynome so wichtig sind und wann es passiert ist?

und

Welche philosophischen Implikationen hatte es?

Die Madhava-Serie stammt aus dem 14. Jahrhundert, und Aryabhata im 5. Jahrhundert ging nicht über die zweite Ordnung hinaus. Diophantus hatte ein viel besseres Verständnis für Polynome c. 250 n. Chr.
Zwei antworten:
Conifold
2015-07-08 08:26:30 UTC
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Obwohl viele Probleme, die wir jetzt auf Polynomgleichungen reduzieren, seit undenklichen Zeiten gelöst wurden, werden frühe Ereignisse verbal und / oder geometrisch gecoacht, und Polynome werden nicht als separate Elemente behandelt. Für das frühe Auftreten geometrischer Probleme, die (heute) zu quadratischen Gleichungen führen, siehe Der Ursprung der quadratischen Gleichung in der Praxis. Die eigentlichen Gleichungen, geschweige denn die Polynome selbst, erscheinen erst relativ spät.

Der erste Durchbruch gelang Diophantus in Arithmetica (um 250 n. Chr.), Der die Notation für ein unbestimmtes $ \ varsigma $ einführte Das erste $ x $ und seine Potenzen bis zum sechsten, $ \ Delta ^ {\ upsilon} $ ist $ \ varsigma $ im Quadrat, $ K ^ {\ upsilon} $ gewürfelt usw. So wurde es zum ersten Mal möglich zu schreiben Down-Polynome, wenn auch nur bis zum sechsten Grad. Er hatte sogar Symbole für konstante Begriffe und Wechselwirkungen von Kräften. Diophantus war auch der erste, der Textprobleme in Polynomgleichungen umwandelte und eine rudimentäre (verbale) Algebra verwendete, um sie zu lösen. Diophantus '"Polynome" sind jedoch auch noch keine getrennten Elemente, sie erscheinen nur als Seiten in Gleichungen. Dies ist analog zur babylonischen und hellenistischen Verwendung des Nullsymbols als Platzhalter. Hier ist $ 3x ^ 2 + 1- (10x ^ 3 + 2x) = 4 $ in Diophantus 'Notation: $ \ Delta ^ {\ upsilon} \ gamma \ mathring {M} \ alpha \ Pitchfork K ^ {\ upsilon} \ iota \ varsigma \ beta \ iota ^ {\ sigma} \ mathring {M} \ delta $. Siehe Hettles Der symbolische und mathematische Einfluss von Diophantus 'Arithmetik für Details und Notation.

Der nächste große Schritt wurde von mittelalterlichen islamischen Mathematikern gemacht. Die bekannten Regeln der Algebra wurden von Al-Khowarizmi (ca. 800-847 n. Chr.) Formalisiert, der auch erste algebraische Lösungen für lineare und quadratische Gleichungen ableitete (vor ihm wurden sie entweder als Vorschriften angegeben oder wie in Euklid geometrisch verborgen). Vielleicht ist Al-Karaji (953-1029 n. Chr.) Die erste Person, die sich allgemeine Polynome vorstellt, die als "Entdecker" bezeichnet werden kann. Er erkannte, dass sich die Reihe der Kräfte (und ihre Wechselwirkungen) auf unbestimmte Zeit erstreckt. Entsprechend erweiterte er Diophantus 'Notation, um Polynome beliebigen Grades zu schreiben, und gab Regeln für deren Addition, Subtraktion und Multiplikation an.

Aber Polynome kommen in der Arbeit von Al-Samawal (1130-1180) The Shining Book on Calculation wirklich zum Leuchten. Er verzichtete auf verbale und semi-verbale Notation und verwendete Koeffiziententabellen, um Berechnungen mit Polynomen zu schreiben und durchzuführen, einschließlich solcher mit negativen Potenzen (Laurent-Polynome). Dies vereinfachte alle algebraischen Berechnungen mit ihnen erheblich, da "Exponentengesetze" automatisch angewendet werden. Und er gibt den ersten Polynom-Divisionsalgorithmus an, den Großvater der modernen langen und synthetischen Division. Er bemerkte auch die Analogie zwischen seiner Schreibweise von Polynomen und der Dezimalpositionsnotation und übertrug seine Algorithmen auf Dezimalzahlen, indem er die Variable durch $ 10 $ ersetzte. Dies war die erste mathematische Rechtfertigung eines Positionsunterteilungsalgorithmus. Siehe Islamische Mathematik und Katz 'Geschichte der Mathematik.

Leider hat Renaissence Europe die Innovationen von Al-Samawal nicht übernommen, sondern die Notation schrittweise verbessert. Insbesondere die Notation, die del Ferro, Tartaglia und sogar Cardano verwendeten, um die Kubik im 16. Jahrhundert zu lösen, war weitgehend verbal und Al-Samawal unterlegen. Trotzdem führte Cardano in Ars Magna (1545) die Technik der Substitutionen ein, die nicht nur das Kubische und das Quartische löste, sondern später in der Polynomalgebra unverzichtbar wurde. Siehe Warum wird ihm "Cardanos Formel" (fälschlicherweise) zugeschrieben?

Viètes Isagoge (1591) führte die symbolische Notation und die algebraischen Manipulationsregeln des modernen Stils ein. Viète verwendet immer noch Wörter für Kräfte, diese wurden von Descartes symbolisiert, aber sie sind an Variablen gebunden. Insbesondere die Verwendung von Buchstaben für Parameter ermöglichte die allgemeine Berücksichtigung von Polynomen anstelle von Beispiel für Beispiel. Und philosophisch gesehen begegnen wir in Viètes Werken zum ersten Mal einer systematischen Anwendung der Methode, bei der Probleme in Gleichungen umgewandelt und dann algebraisch gelöst werden. Siehe Viètes Relevanz und seine Verbindung zu Euler und die darin enthaltenen Referenzen.

Diese Methode wurde durch Descartes 'analytische Geometrie in La Géométrie (1637) weiter geschärft. Er verband es mit der von Pappus beschriebenen klassischen Analyse- und Synthesemethode, jedoch mit der Umwandlung in algebraische Gleichungen in der Mitte. Dies rationalisierte nicht nur die Lösungen vieler klassischer Probleme, sondern deckte auch viele neue ab, die durch Gleichungen höherer Ordnung ausgedrückt werden können. Darüber hinaus betrachtet Descartes Polynome in zwei Variablen, die algebraische Kurven in der analytischen Geometrie darstellen, und hier wurzelt die algebraische Geometrie. Descartes 'Formalisierung der Konstruktionsmethoden und die Klassifizierung von Problemen anhand ihrer algebraischen Darstellung führten zu Techniken, die für Unmöglichkeitsbeweise erforderlich waren, beginnend mit Gregorys (erfolglosem) Versuch, die algebraische Unlösbarkeit der Quadratur zu beweisen (1667). Siehe Crippas Unmöglichkeitsergebnisse: von der Geometrie zur Analyse.

Alexandre Eremenko
2015-07-07 11:55:30 UTC
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Polynomgleichungen gehören von Anfang an zu den Hauptobjekten der Mathematik. Babylonier wussten, wie man quadratische Gleichungen löst, obwohl sie natürlich keine moderne Notation verwendeten. Die Theorie der Kegelschnitte ist das Studium quadratischer Gleichungen in 2 Variablen und wurde von Apollonius geometrisch durchgeführt. (Zu dieser Zeit gab es keine algebraische Notation, und die Griechen betrachteten die Kegelschnitte nicht als Polynomgleichungen). Polynomgleichungen höheren Grades und in vielen Variablen wurden zuerst systematisch von Diophantus über das Feld rationaler Zahlen untersucht, so dass Apollonius und Diophantus in gewissem Sinne als Schöpfer algebraischer Geometrie (über die Reals bzw. über die Rationalen) betrachtet werden können / p>

Muslimische Wissenschaftler setzten die Untersuchung von Polynomen während des "dunklen Zeitalters" in Europa fort.

Es war natürlich, nach einer allgemeinen Formel für die Lösung der Polynomgleichungen in einer um einen Grad höheren Variablen zu suchen als 2. Dies wurde im 16. Jahrhundert erreicht (Tartaglia, Cardano, Ferrari). Die moderne Notation für Polynome wurde von Vieta eingeführt. Schließlich erfand Descartes seine Koordinatenmethode und verband den geometrischen Ansatz der Griechen mit dem algebraischen Ansatz. Descartes war also wahrscheinlich der erste, der Polynomgleichungssysteme studierte, wie wir sie jetzt kennen.

Zur Zeit Newtons war das Studium der Polynomgleichungen sehr gut etabliert. Newton selbst trug dazu bei, indem er die realen algebraischen Kurven von Grad 3 klassifizierte (für Grad 2 wurde dies von Apollonius und in algebraischer Notation durchgeführt) Descartes).

Lassen Sie mich hinzufügen, dass Polynome nicht nur die "einfachsten Funktionen" sind, sondern heutzutage eines der Hauptziele des Studiums der Mathematik bleiben. Der Bereich der algebraischen Geometrie ist ein zentraler Bestandteil der Mathematik. Es untersucht Polynomäquatons.



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