Vitalis Konstruktion ist wahrscheinlich das erste Beispiel "unangenehm" im modernen Sinne, aber die Ordnung des Kontinuums war für einige zum Zeitpunkt von Zermelos Beweis im Jahr 1904 unangenehm genug. Akzeptieren, dass das Kontinuum in Punkte zerlegt werden kann (kontra) Aristoteles) war neu und hart genug, um die angespannte Leichtgläubigkeit weiter zu ordnen. Borel und Lebesgue lehnten es sofort ab, und Poincare verspottete die Idee offen, Peirce und Weyl lehnten sogar ab, dass das Kontinuum eine Menge ist. Grothendieck-Topos würden wahrscheinlich besser zu dem passen, was sie sich vorgestellt hatten als ein Set, aber es ist interessant, dass erst 1975 bewiesen wurde, dass AC das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte impliziert und daher automatisch für Intuitionisten gilt. Für Peano schien das Axiom der Wahl selbst ein unangenehmes Prinzip zu sein, das man nicht zugeben sollte. Interessanterweise akzeptierte Poincare das Axiom der Wahl selbst, lehnte jedoch Zermelos Beweis aufgrund der "Impredikativität" der Ordnung ab, einem selbstreferenziellen Aspekt in seiner Definition. Das gleiche Problem führte Russell früher dazu, die Typentheorie zu entwickeln. Zermelos Antwort (auf beide) war, dass ohne Impredikativität auch viele klassische Konstruktionen (wie die kleinste Obergrenze) auseinanderfallen.

Das früheste Kompendium des Axiom-of-Choice-Zoos der Pathologien ist vielleicht Sierpinskis langes Papier von 1918 in französischer Sprache Cracovie, Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles, Séie A, Sciences Mathématiques, Année 1918, S. 97–152.] Ich glaube nicht, dass es ins Englische übersetzt wurde, aber es begann das Unternehmen, die klassischen mathematischen Theoreme zu sichten, um festzustellen, ob oder nicht, sie hängen von AC ab und suchen nach Kuriositäten, die sich daraus ergeben oder deren Negation (Sierpinski hat ähnliche Arbeit auch für die Kontinuumshypothese geleistet). Die polnischen Mathematiker haben zwischen 1918 und 1940 viel in diese Richtung gearbeitet, was sich in Sierpinskis Kardinal- und Ordnungszahlen widerspiegelt. Insbesondere das Banach-Tarski-Paradoxon ist daraus hervorgegangen, obwohl es eine Dramatisierung des früheren von Hausdorff aus dem Jahr 1914 war. Ein anderes Buch, das noch nicht erwähnt wurde, ist Rubin-Rubins Äquivalente des Axioms der Wahl. Medwedews frühe Geschichte des Axioms der Wahl enthält viel frühes Material mit der Rückverfolgung dessen, was von AC abhängt und was nicht, aber es wird auch nicht ins Englische übersetzt. Moores Buch ist vielleicht das zugänglichste.

In Bezug auf die Negation von Wechselstrom wies Sierpinski 1918 darauf hin, dass die Messbarkeit der zählbaren Vereinigung messbarer Mengen von (zählbarer) Wechselstrom abhängt. Das war eine schöne Ergänzung zu Vitali, nicht messbare Mengen mögen unangenehm sein, aber ohne Wechselstrom wird es überhaupt keine Lebesgue-Maßtheorie geben. Aber bereits Zermelos Beweis zeigte, dass AC gleichbedeutend mit einer guten Ordnungsfähigkeit aller Sets ist. Ohne sie würden Kardinalitäten ins "Chaos" geraten. Dass jede Kardinalität ein Alef ist (und auf jeden Fall das Kontinuum), war Cantors langfristige Überzeugung. Er schwankte nicht davon, selbst als König auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1904 vor Cantor seinen Beweis vorlegte, dass das Kontinuum nicht gut geordnet sein könne. Cantor war sich sicher, dass es dann und dort einen Fehler gegeben haben musste. Hausdorff und Zermelo erkannten bald, dass König keine Fehler machte, aber es gab eine subtile Lücke im Beweis von Bernsteins Lemma, den König benutzte. Für Cantor wäre Not-AC also ziemlich unangenehm gewesen. Das Auge des Betrachters ...