Frage:
Geschichte von Platons Formel zur Erzeugung pythagoreischer Tripel
Nicco
2016-05-08 06:07:12 UTC
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Ich interessiere mich für die Geschichte hinter Platons Formel $ 2m, m ^ 2-1, m ^ 2 + 1 $ zur Erzeugung pythagoreischer Tripel. War Platon der erste Mathematiker, der eine solche Formel entwickelte?

Platon war weder Mathematiker noch hat er sich diese Formel oder deren verbale Entsprechung ausgedacht, er war Philosoph und sie wird einfach in einem seiner Dialoge erwähnt. Das Beste, was wir sagen können, ist, dass es wahrscheinlich von den Pythagoräern stammt, und wenig mehr ist bekannt, weil sie alles Pythagoras zuschreiben (der höchstwahrscheinlich nichts davon getan hat), siehe http://hsm.stackexchange.com/questions / 391 / pythagoras-gegen-die-idee-von-pythagoras
@Conifold: Das ist sehr interessant, aber wie kommt es, dass Platons Name mit dieser Methode verbunden ist, siehe zum Beispiel [hier] (http://en.m.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples).
Zwei antworten:
Alexandre Eremenko
2016-05-08 07:42:45 UTC
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Platon war kein Mathematiker und es ist unwahrscheinlich, dass er etwas in der Mathematik erfunden hat. Diese besondere Formel wird Pythagoras vom alten Mathematiker und Historiker der Mathematik Proclus zugeschrieben; Er sagt dies in seinen Kommentaren zu Euklid. Einige Sonderfälle stammen aus der babylonischen Mathematik.

Ich habe mich nicht bei Proclus erkundigt. Meine Quelle ist der Artikel von I. Bashmakova, Diophantus von Alexandria und seiner "Atithmetik", der als Einleitung zur russischen Übersetzung von Diophantus (Moskau, Nauka, 1974) veröffentlicht wurde.

Die einzige Schlussfolgerung, die gezogen werden kann Aus Proclus 'Aussage geht hervor, dass einige unbekannte Pythagoräer diese Formel kannten, eine Geheimgesellschaft waren und dazu neigten, alles ihrem halblegendären Gründer zuzuschreiben.

Ich werde diese Antwort vorerst nicht markieren, da sie nicht die Frage anspricht, wie Platons Name an dieser Formel festhielt, was meine Hauptverwirrung war.
Ich nehme an, Platon erwähnt es in einem seiner Dialoge, da er viele andere mathematische Ergebnisse erwähnt. Da er vor Euklid lebte, ist dies wahrscheinlich die erste Erwähnung in der Literatur, die bis heute überlebt hat.
@ Alexandre Emerenko: Wäre es also richtig, die Formel weiterhin bei seinem Namen zu nennen (Platons Formel) oder sollte es einfach eine Pythagoras-Formel sein?
@Nicco: Ich weiß nicht, was "richtig" ist. Die meisten etablierten mathematischen Begriffe schreiben die "ersten Erfinder" nicht gut. Namen sind nur Bezeichnungen, und das Hauptkriterium hierbei ist, dass ein Name erkennbar ist und nicht, dass er eine faire Anerkennung bietet.
Es gibt bereits viele Dinge, die nach Pythagoras benannt sind, daher ist es in Ordnung, einen anderen Namen zu wählen. Übrigens ist "Plato solids" auch ein etablierter Name, obwohl jeder weiß, dass es nicht Plato ist, der sie studiert hat. Es war Theaetetus, und Platon schreibt ihn gut.
Interessant zu wissen, dass Platon diese Formel nicht erstellt hat. Stephen Hawkins erwähnte diesen Punkt in dem Buch "Gott schuf die ganzen Zahlen" nicht. Obwohl er die Geschichte hinter dem Satz von Pythagoras und verwandten Formeln analysierte.
Will Orrick
2019-04-02 20:30:46 UTC
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Die Namen Pythagoras und Plato sind aufgrund ihrer Erwähnung in Proclus 'Kommentar zu Euklid mit Methoden zur Erzeugung pythagoreischer Tripel verbunden. Soweit ich jedoch feststellen konnte, wird eine solche Methode in den erhaltenen Werken von Platon nicht erwähnt, und, wie in den Kommentaren erwähnt, die Zuordnung von irgendeinem mathematischen Ergebnis zu Pythagoras oder die frühen Mitglieder seiner Schule sind problematisch.

In seinem Kommentar zum Beweis des Satzes von Pythagoras in Buch I der Elemente beschreibt Proclus zwei Methoden zur Erzeugung pythagoreischer Tripel, wobei angegeben wird, dass eine Pythagoras zugeschrieben wird, die andere Plato. Unter Verwendung einer anachronistischen algebraischen Formulierung ergibt die "Methode von Pythagoras" das dreifache $$ \ left (n, \ frac {n ^ 2-1} {2}, \ frac {n ^ 2 + 1} {2} \ right) $$ span> für eine beliebige ungerade Ganzzahl $ n $ span>. Beispiele sind $ (3,4,5) $ span>, $ (5,12,13) ​​$ span>, $ (7,24,25) $ span>, $ (9,40,41) $ span> und $ (11,60,61) $ span>. Da sich zwei Elemente jedes Tripels durch $ 1 $ span> unterscheiden, sind diese eindeutig primitiv.

Die "Methode von Plato" ergibt $$ \ left (n, \ left (\ frac {n} {2} \ right) ^ 2-1, \ left (\ frac {n} {2} \ right) ^ 2 + 1 \ right ) $$ span> für jede gerade Ganzzahl $ n $ span>. Dies entspricht der Formel, nach der Sie fragen. Beispiele sind $ (4,3,5) $ span>, $ (6,8,10) $ span>, $ (8,15,17) $ span>, $ (10,24,26) $ span> und $ (12,35,37) $ span>. Wenn $ n $ span> zweimal eine ungerade Zahl ist, liefert die Methode die gleichen Tripel wie die "Methode von Pythagoras", jedoch verdoppelt. Wenn $ n $ span> zweimal eine gerade ganze Zahl ist, sind die Tripel primitiv, da zwei ihrer Elemente aufeinanderfolgende ungerade Zahlen sind.

Die Passage in der Frage beginnt auf Seite 340 (Position 428.6) in Glenn R. Morrow's Übersetzung von A Commentary of the First Book of Euclids Elements. Hier ist es:

Bestimmte Methoden wurden gefunden, um solche Dreiecke zu finden, von denen eine Platon und die andere Pythagoras zugeschrieben wird. Die Methode von Pythagoras beginnt mit ungeraden Zahlen, wobei eine gegebene ungerade Zahl als die kleinere der beiden Seiten mit dem Winkel gesetzt wird, ihr Quadrat genommen, eine davon subtrahiert wird und die Hälfte des Restes als die größere der Seiten um die rechte Seite gesetzt wird Winkel; Wenn Sie dann eine hinzufügen, erhalten Sie die verbleibende Seite, die den Winkel begrenzt. Zum Beispiel dauert es drei, quadriert es, subtrahiert eins von neun, nimmt die Hälfte von acht, nämlich vier, addiert dann eins dazu und erhält fünf; und so wird das rechtwinklige Dreieck mit Seiten von drei, vier und fünf gefunden. Die platonische Methode geht von geraden Zahlen aus. Es nimmt eine gegebene gerade Zahl als eine der Seiten um den rechten Winkel, teilt sie in zwei und quadriert die Hälfte, dann erhält man durch Addieren einer zum Quadrat die gegenüberliegende Seite und durch Subtrahieren einer vom Quadrat die andere Seite um die rechter Winkel. Zum Beispiel dauert es vier, halbiert es und quadriert die Hälfte, nämlich zwei, vier bekommen; Wenn man dann eins subtrahiert, erhält man drei und addiert eins fünf, und so hat es das gleiche Dreieck konstruiert, das mit der anderen Methode erreicht wurde. Denn das Quadrat dieser Zahl ist gleich dem Quadrat aus drei und dem Quadrat aus vier zusammen.

Morrow verweist den Leser auf die Seiten 356–360 von Band I von Heaths Übersetzung von Elemente , in denen Heath einige Spekulationen darüber vorstellt, wie solche Methoden entdeckt worden sein könnten. Ab Seite 360 ​​erörtert Heath ausführlich das frühe Wissen über den Satz von Pythagoras und die Pythagoras-Tripel in Indien, das in den Śulvasūtras.

Interessanterweise im vorhergehenden Absatz gezeigt wird Proclus, der oben zitiert wurde, diskutiert gleichschenklige und skalene rechtwinklige Dreiecke und wiederholt Platons Klassifikation in Timaeus . Aber unter den skalierten rechtwinkligen Dreiecken hebt Plato den $ 30 ^ \ circ $ span> - $ 60 ^ \ circ $ span> - hervor $ 90 ^ \ circ $ span> Dreieck, für das, wie Proclus im Fall des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks feststellt, "keine Zahlen gefunden werden können, die zu den Seiten passen" - also nichts da über pythagoreische Tripel. Später in diesem Absatz sagt Proclus, dass es Skalenendreiecke gibt, für die "es möglich ist, solche Zahlen zu finden", und nennt das Beispiel "das Dreieck in der Republik , in dem Seiten von drei und vier enthalten der rechte Winkel und fünf unterliegt es ". In einer Fußnote sagt Morrow, dass die Anspielung wahrscheinlich Rep. 546c ist. In meiner Lektüre befasst sich diese Passage mit einer komplizierten Numerologie mit den Zahlen 3, 4 und 5, sagt aber nichts über rechtwinklige Dreiecke aus. Wenn irgendwo in Platon pythagoreische Tripel erwähnt werden, wäre das interessant, aber ich habe noch nichts von einer solchen Passage gehört.



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