Frage:
Hat Euklid Kreissegmente als eine andere Größe betrachtet?
Hans-Peter Stricker
2018-10-28 03:18:38 UTC
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[Ich habe die Frage angepasst, um das widerzuspiegeln, was ich aus Alexandres Antwort gelernt habe: Euklid spricht nie von Längen und Flächen, sondern nur von Liniensegmenten und Figuren (wie Quadraten). Die Frage selbst bleibt unverändert.] Sub>


Für Euklid waren Größen Dinge, die verglichen werden können, gleich, kleiner oder größer als die anderen sind kann addiert und subtrahiert werden, und das kann Proportionen haben. (Daneben gab es Zahlen , eine andere Art von Dingen mit denselben Eigenschaften.)

Es gibt vier Größen, die Euklid explizit und hauptsächlich behandelt:

  • Längen von strike> geraden Liniensegmenten

  • Winkeln zwischen geraden Liniensegmenten

  • Bereiche von strike> ebenen Figuren (Polygone und Kreise)

  • Volumen von strike> festen Figuren (Polyeder und Kugeln)

Es können nur -Längen von strike> geraden Liniensegmenten multipliziert werden (wobei Bereiche und Volumen strike> angegeben werden) sowie Zahlen (angegeben) Zahlen).

Er befasst sich auch mit -Längen von strike> -Kreissegmenten, zumindest mit der -Länge von strike> des gesamten Kreises (Umfang).

Aber spricht er irgendwo explizit über die Länge von strike> beliebigen Kreissegmenten und vergleicht, addiert oder subtrahiert sie?

Außerdem: War er bewusst, dass ein Winkel ist "proportional" zu der Länge von strike> eines entsprechenden Kreissegments und hat dies genutzt (was für ihn nicht bedeutet hätte, dass die beiden gleich waren)?

Zwei antworten:
Conifold
2018-10-29 04:18:22 UTC
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Größen können verglichen werden und Proportionen aufweisen, addiert oder subtrahiert werden, aber nur , um Größen zu mögen. Zum Beispiel bedeutete das Hinzufügen von Segmenten, sie grob zu verketten (wie bei Bereichen), sie nicht mit einer anderen Art von Dingen wie der Zahl in Beziehung zu setzen und diese dann hinzuzufügen. Längen konnten beispielsweise nicht verglichen oder mit Bereichen in Beziehung gesetzt werden. Bezüglich der Länge von Kreissegmenten gilt für Euklid der "Umfang" nicht nur für den gesamten Kreis, sondern auch für Kreisbögen, siehe z. Buch VI, Satz 33:

" Winkel in gleichen Kreisen haben das gleiche Verhältnis wie die Umfänge, auf denen sie stehen, unabhängig davon, ob sie in der Mitte oder in der Mitte stehen die Umfänge. "

Ob Umfänge mit Liniensegmenten zusammenhängen könnten, ist das Problem der Gleichrichtung von einer Art mit dem Problem der Quadratur, die gekrümmte Bereiche mit geradlinigen in Beziehung setzt. und kann nur mit der sogenannten "Methode der Erschöpfung" durchgeführt werden. Euklid greift dies in den Elementen nicht auf, dass die Umfänge so sind, wie ihr Durchmesser für seine Zwecke ausreicht.

Der erste Teil Ihrer Antwort war mir bereits klar (und ich wollte nicht um Vergleich und Addition von ungleichen Größen bitten). Aber der zweite Teil Ihrer Antwort beantwortet meine Frage perfekt. Vielen Dank.
Alexandre Eremenko
2018-10-28 20:20:44 UTC
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Im Gegensatz zu Ihrer Aussage weist Euklid geometrischen Figuren niemals Zahlen zu. Er spricht niemals von "Länge" oder "Winkelmaß" (er verwendet keine Grad). Es ist schwieriger mit Bereichen und Volumen, die Euklid wirklich vergleichen, aber ohne ihnen Zahlen zuzuweisen. Aus Euklids Sicht haben zwei Polygone die gleiche Fläche, wenn eines in Teile zerlegt werden kann und diese Teile dann neu angeordnet werden, um das andere Polygon zu bilden. Dies funktioniert jetzt mit einem Kreis oder 3D-Polytops, aber die Fläche des Kreises und das Volumen eines Polytops werden in Euklid nie wirklich definiert.

All diese Dinge werden im Buch R sehr gut erklärt Hartshorne, Begleiter von Euklid, was meiner Meinung nach die beste Darstellung von Euklid aus heutiger Sicht ist.

Warum habe ich wohl gesagt, dass Euklid geometrischen Figuren Zahlen zugewiesen hat? Ich wollte das nicht implizieren.
Obwohl Euklid nicht von "Länge" spricht, spricht er von "Größen", nicht wahr?
Nein, er spricht nicht über Größen. Er spricht nur vom Vergleich: größer, kleiner und gleich. Es ist wahr, dass er in einem Satz von der Fläche eines Kreises spricht, aber er definiert nie, was das ist. (Schau dir das Buch an, das in meiner Antwort erwähnt wurde).
Was ist mit [Definition V.I] (https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookV/defV1.html)?
@Hans Stricker: Dieses Wort bedeutet etwas anderes als das, was wir jetzt meinen. Er vergleicht Segmente mit Segmenten, Bereiche mit Bereichen usw. Und bezeichnet mit dem Wort "Größe" zwei ähnliche Dinge, die er vergleicht.
Mit anderen Worten: Eine Größe (alt) ist etwas, das eine Größe (neu) hat? Ein Liniensegment (Größe im Sinne von Euklid) hat eine Länge (Größe heute).
@Hans Sticker: ja. Eine "Linie" (Segment) ist eine "Größe" in Euklid, aber er verwendet nicht das Wort "Länge". Er kann sagen, dass zwei Segmente gleich sind (überlagert werden können) oder eines größer ist (wenn das zweite verschoben werden kann, um einen Teil des ersten zu bilden. Ähnlich mit Winkeln, Flächen und Volumen.


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 4.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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