Frage:
Was ist die Geschichte der Momenterzeugungsfunktionen und der allgemeineren charakteristischen Funktionen?
user89
2016-02-14 09:14:48 UTC
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Momenterzeugungsfunktionen stellen eine alternative Spezifikation für eine Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (pdf) bereit, was es oft sehr bequem macht, Erwartungen, Varianzen usw. des PDFs zu berechnen.

Eine Momenterzeugungsfunktion ist definiert als :

$ M_X (t) = \ mathbb {E} (e ^ {tX}), t \ in \ mathbb {R} $

Eine Einschränkung für momentgenerierende Funktionen ist dass ihre Integrale möglicherweise nicht immer existieren. Die allgemeinere charakteristische Funktion umgeht dies und sie sind definiert als:

$ C_X (t) = \ mathbb {E} (e ^ {itX}), t \ in \ mathbb {R} $

Angesichts ihrer enormen Fähigkeit, die Berechnung der Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu vereinfachen, wirken momenterzeugende und charakteristische Funktionen fast magisch - ein wunderbares Kaninchen, das aus der Luft aus dem Hut eines Magiers gezogen wird.

Nur wenige Dinge sind in der Geschichte der Mathematik wirklich so, daher bin ich gespannt, wie dieses spezielle Kaninchen geboren wurde: Wie haben sich die Menschen auf sie konzentriert?

Einer antworten:
Alexandre Eremenko
2016-02-14 20:47:19 UTC
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Die allgemeine Idee, eine Funktion zu erzeugen, hat einen viel größeren Anwendungsbereich als ihre Anwendung auf die Wahrscheinlichkeit. Die richtige Einstellung ist die "harmonische Analyse", die einer der zentralen und am weitesten entwickelten Teile der Mathematik ist. Die Geburt der Idee geht auf Braham de Moivre (1667-1754) und sein Buch Doctrine of Chances zurück. Später wurde dieselbe Idee in der Zahlentheorie (Euler) und vor allem in der mathematischen Physik (Fourier) entwickelt und angewendet. (Die charakteristische Funktion ist ein Sonderfall der Fourier-Transformation). Die Laplace-Transformation (die Momenterzeugungsfunktion) gehört zum selben Ideenkreis, und ihre ursprüngliche Verwendung war ebenfalls wahrscheinlich.

All diese mächtigen Ideen (Generierungsfunktion, Fourier, Laplace und andere ähnliche Transformationen) wird als (lineare) harmonische Analyse bezeichnet und ist eine der leistungsfähigsten Methoden der Mathematik. Sie findet praktisch überall Anwendung (in fast allen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften). Wenn Sie eine Verallgemeinerung hinzufügen, die als nichtlineare harmonische Analyse bezeichnet wird, erhalten Sie den größten Teil der vorhandenen Mathematik :-)

Es gibt eine ausgezeichnete historische Übersicht:

Mackey , George W. Harmonische Analyse als Ausnutzung der Symmetrie - eine historische Übersicht. Stier. Amer. Mathematik. Soc. 3 (1980), Nr. 1, Teil 1, 543–698

Oh mein Gott - was für ein wundervoller Artikel (und eine schöne Antwort auch :)!
Ich habe eine Frage aus dem Papier, das ich auf M.SE gepostet habe - hoffe, Sie können helfen! http://math.stackexchange.com/questions/1657651/question-while-reading-harmonic-analysis-as-the-exploitation-of-symmetry-a-h


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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