Frage:
Woher stammt die Terminologie "charakteristisch" eines Feldes?
Brandon Thomas Van Over
2016-11-15 02:07:45 UTC
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Wo ist diese Terminologie zum ersten Mal aufgetaucht und was war die Motivation für die Verwendung des Wortes "Merkmal", um auf die Eigenschaft zu verweisen, dass $ 1 + 1 + ... + 1 $ uns eine bestimmte Anzahl von Malen die additive Identität verleiht?

Keine Antwort für diese Site, aber beachten Sie, dass wenn $ 1 + 1 + \ ldots + 1 $ ($ n $ mal) $ 0 $ ist, dann $ x + x + \ ldots + x $ ($ n $ mal) $ 0 $ ist für jedes $ x $ und (für ein Feld) umgekehrt.
Zum Beispiel: Wurde es von der deutschen * Charakteristik * übernommen und wenn ja, was bedeutete es dort?
Einer antworten:
Conifold
2016-11-15 08:37:51 UTC
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Der Begriff und der Begriff wurden von Steinitz in seiner wegweisenden Arbeit Algebraische Theorie des Körpers, Crelle's Journal (1910), 167–309, vorgestellt. Er definierte solche Konzepte auch als Hauptfeld und den Transzendenzgrad dort. In seinen eigenen Worten war sein Ziel " einen allgemeinen Überblick über alle möglichen Arten von Feldern zu erhalten und ihre Beziehungen zueinander zu bestimmen ". Laut Roquette's In Memoriam:

" In jedem abstrakten Feld zeigte Steinitz, dass es ein einzigartiges kleinstes Unterfeld gibt, das er als Hauptfeld bezeichnete ist entweder in nite (und dann isomorph zu den Rationalen) oder seine Kardinalität ist eine Primzahl p (und dann ist es isomorph zu den ganzen Zahlen modulo p). Dementsprechend definierte er die Charakteristik eines Feldes als entweder 0 oder p / em> "

Um die Bedeutung des Papiers einzuschätzen, ist es hilfreich, van der Waerden zu zitieren, dessen moderner Algebra-Text das Feld geprägt hat:

" In früheren Abhandlungen wurden Zahlenfelder und Felder algebraischer Funktionen gewöhnlich in getrennten Kapiteln und endliche Felder in einem weiteren Kapitel behandelt. Der erste, der eine einheitliche Behandlung gab, beginnend mit einer abstrakten Definition des Feldes, war E. Steinitz in seinem Jahr 1910 In meinem Kapitel 5 mit dem Titel "Korpertheorie" folgte ich im Wesentlichen Steinitz ... "

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Van der Waerden ist etwas zu großzügig, der erste, der eine abstrakte Definition eines Feldes gab, war Weber (den Steinitz angibt) in Die Allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gruppentheorie, Math. Ann., 43: 521-549, 1893. Aber er konzentrierte sich eher auf die Galois-Theorie als auf das Studium allgemeiner Gebiete. Was die Motivation für "Charakteristik" betrifft, so ist es in der Mathematik ein ziemlich gebräuchlicher Name für ein einfacheres Objekt, das etwas Komplexeres "charakterisiert", verglichen mit der Charakteristik eines Logarithmus, einer charakteristischen Determinante, eines Polynoms, einer Funktion usw. Steinitz könnte es auch gewesen sein beeinflusst von Dedekinds, Frobenius 'und Webers früherer Verwendung des "Gruppencharakters". Laut Shapiro (zitiert aus frühesten bekannten Verwendungen einiger Wörter der Mathematik):

" In Dedekinds Ausgabe von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie 1894 fügte Dedekind eine Fußnote hinzu, in der er den Begriff "Charakter" heraushob, ihn explizit definierte und mit chi (n) bezeichnete. Er gab der Funktion jedoch keinen Namen. Webers Lehrbuch der Algebra, II, 1899 definierte er die Funktion chi (A) als "Gruppencharakter" und entwickelte einige seiner elementaren Eigenschaften ... "



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