Frage:
Was hat Lobatschewski getan?
wdlang
2017-09-01 20:17:43 UTC
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Es wird oft gesagt, dass er nichteuklidische Geometrie entdeckt hat. Aber in welchem ​​Sinne?

Ich lese das Buch 'Geometrie' von Brannan et al. Sie verwenden das Plattenmodell als Beispiel für hyperbolische Geometrie. Hatte Lobachevsky ein ähnliches Modell?

Ich glaube, Beltrami war Pionier solcher Modelle. Standardreferenz: R. Bonola (1912), [Nichteuklidische Geometrie; eine kritische und historische Studie über seine Entwicklung] (https://archive.org/details/noneuclideangeom00bonorich).
Drei antworten:
Nick
2017-09-01 22:29:11 UTC
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Bei der Entwicklung seiner Geometrie arbeitete Lobachevsky ausschließlich in der (Lobachevskian) Ebene. Es war der italienische Mathematiker Beltrami, der zuerst zeigte, dass die Geometrie (eines Teils) der Lobachevskian-Ebene mit der Geometrie einer bestimmten Oberfläche übereinstimmte - nämlich der Pseudosphäre. Beltramis Arbeit kam ungefähr zweiundvierzig Jahre, nachdem Lobachevsky seine Ideen zum ersten Mal formuliert und vervollständigt hatte: 1868 vs 1826.

Beltramis Interpretation zeigt, dass jeder Aussage der Lobachevskschen Geometrie, die sich auf einen Teil der Ebene bezieht, eine entspricht unmittelbare Tatsache über die intrinsische Geometrie der Pseudosphäre.

Es wird jedoch nicht die gesamte Lobachevskian-Ebene auf der Pseudosphäre realisiert, sondern nur ein Teil davon. Es war Klein im Jahr 1870, der zuerst eine tatsächliche Interpretation der Lobatschewski-Geometrie auf der gesamten Ebene und allgemeiner seiner Geometrie im Raum gab. (Siehe zum Beispiel Kleins Interpretation im Kreis und in der Kugel.)

Quelle: MATHEMATIK Inhalt, Methoden und Bedeutung von Aleksandrov, Kolmogorov und Lavrent'ev.

Wurde später gezeigt, dass die Lobachevsksche Ebene auch der intrinsischen Geometrie von Hyper- und Hypo-Pseudosphären entspricht? Beide haben eine zusätzliche Nicht-Einheitskonstante, die sie beschreibt, Einheit für die Beltrami-Pseudosphäre.
Alexandre Eremenko
2017-09-01 23:06:06 UTC
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Ja, Lobachevsky war ein Entdecker der nichteuklidischen (genauer gesagt hyperbolischen) Geometrie. (Es wurde unabhängig von wenigen anderen Menschen entdeckt, aber Lobachevskys Behandlung war bei weitem die vollständigste). Genauer gesagt akzeptierte er nur die Negation des "5. Postulats" als Axiom und entwickelte eine umfassende Geometrie, die auf diesen neuen Axiomen basierte.

Aber er hatte kein Modell. Es wurde axiomatisch wie Euklid entwickelt. Die Rolle der späteren Modelle (Beltrami, Poincare, Klein) bestand darin, konsequent zu zeigen, dass, wenn es keinen Widerspruch in der euklidischen Geometrie gibt, DANN dies kein Widerspruch in der des Lobatschewski ist. Sie sind also gleichermaßen "wahr".

(Die Frage, ob es einen Widerspruch in der euklidischen Geometrie oder im Rest der Mathematik gibt, gehört nicht zur Mathematik selbst: Dies ist mit den üblichen mathematischen Methoden nicht beweisbar.) .

Klammern brauchen Referenz ... Die Theorie erster Ordnung der euklidischen Geometrie (äquivalent die Theorie erster Ordnung der reellen Zahlen, reelle Felder) ist o-minimal. Diese Theorie ist ** viel einfacher ** als die Theorie erster Ordnung von $ \ mathbb N $, wo der Unvollständigkeitssatz von G \ "odel gilt.
Moishe Kohan
2017-09-02 11:26:15 UTC
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Ein weiterer wichtiger Beitrag von Lobachevsky war die Entwicklung der hyperbolischen Trigonometrie (aus den Axiomen: Im Gegensatz zu den modernen Behandlungen verwendete er keine Modelle, da er keine hatte). Eine interessante und oft übersehene Anwendung dieser Entwicklung ist die Einzigartigkeit der Lobachevskschen Geometrie:

Theorem. Angenommen, $ X_1, X_2 $ sind Räume, die Lobachevsky-Axiome mit derselben "Krümmungsnormalisierung" erfüllen: Jedes ideale Dreieck hat in beiden Geometrien die Fläche $ c $. (Sie können $ c = \ pi $ nehmen, wenn Sie möchten, dies entspricht der Krümmung $ -1 $.) Dann ist $ X_1 $ isometrisch zu $ ​​X_2 $.

Ich kann erklären, wie es folgt, wenn Sie interessiert sind.

Bearbeiten:

Beweis. Wählen Sie einen Basispunkt $ o_1 \ in X_1 $ und einen Referenzstrahl $ \ rho_1 $ aus, der von $ o $ ausgeht. Dies definiert die "Polarkoordinaten" auf $ X_1 $, nämlich $ P (r, \ theta) $, wobei $ r $ der Abstand von $ P $ zu $ ​​o_1 $ und $ \ theta \ in [0,2 \ pi ist ) $, der (orientierte) Winkel zwischen $ o_1P $ und $ \ rho_1 $. Machen Sie jetzt dasselbe im zweiten Feld $ X_2 $: Wählen Sie einen Basispunkt $ o_2 $, einen Strahl $ \ rho_2 $ usw.

Definieren Sie dann eine Zuordnung $ f: X_1 \ zu X_2 $ durch Senden von $ P (r, \ theta) \ in X_1 $ an $ Q (r, \ theta) \ in X_2 $. Es ist eindeutig eine Bijektion, lassen Sie uns beweisen, dass es sich um eine Isometrie handelt. Nimm zwei Punkte $ A, B \ in X_1 $. Dann ist ihr Abstand in $ X_1 $ durch das hyperbolische Kosinusgesetz gegeben (aufgrund von Lobachevsky: Ich habe es nicht überprüft, aber es ist möglich, dass Bolyai es auch bewiesen hat):
$$ cosh (| AB |) = cosh (| o_1A |) cosh (| o_1B |) - sinh (| o_1A |) sinh (| o_1B |) cos (\ angle (Ao_1B)). $$
Durch die Konstruktion behält die Karte $ f $ alle Mengen auf die rechte Seite dieser Gleichung (der Abstand zum Ursprung und der Winkel). Da die hyperbolische Kosinusformel auch in $ X_2 $ gilt, folgt, dass $ f $ eine Isometrie ist. qed

Dieser Beweis verwendet den Begriff eines orientierten Winkels, der leicht vermieden werden kann, indem in einer Halbebene in $ X_i $ gearbeitet wird (definiert durch die eindeutige Linie durch $ \ rho_i) $ $ i = 1,2 $) gleichzeitig.



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