Frage:
Wer hat angefangen, die Matrixmultiplikation "Multiplikation" zu nennen?
istist
2019-12-14 07:55:31 UTC
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Als ich nach linearer Algebra suchte, fand ich es seltsam, dass die lineare Kartenzusammensetzung der Multiplikation von Matrizen entspricht. In Anbetracht der Intuition, dass die Wiederholung der Addition eine Multiplikation ist, und der Definition eines Moduls, hielt ich es für besser, die skalare Multiplikation Matrixmultiplikation zu nennen. Natürlich kann die Skalarmultiplikation für jedes Feld definiert werden, und die Leute hätten die Operation zwischen Matrizen gerne als "Matrixmultiplikation" bezeichnet. Ich bin jedoch der Meinung, dass Matrixzusammensetzung ein logischerer Begriff ist.

Ich möchte nur nach Geschichte fragen. War die Multiplikation von Matrizen von Anfang an "Multiplikation"?

Einer antworten:
Conifold
2019-12-14 11:03:59 UTC
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Dieselbe Person, die es vorgestellt hat, Cayley. Sylvester verwendete den Begriff "Matrix" (Gebärmutter in Latein) erstmals 1848 für eine Reihe von Zahlen, machte aber nicht viel damit. Cayley begann 1855 mit der Entwicklung der Matrixalgebra und fasste seine Theorie in A Memoir on the Theory of Matrices (1858) zusammen. In den ersten Absätzen schreibt er:

" Es ist zu sehen, dass sich Matrizen (die nur diejenigen derselben Reihenfolge berücksichtigen) als einzelne Mengen verhalten, sie können addiert und multipliziert werden oder zusammengesetzt, &c.: Das Gesetz der Addition von Matrizen ist genau ähnlich dem für die Addition gewöhnlicher algebraischer Größen; hinsichtlich ihrer Multiplikation (oder Zusammensetzung) gibt es die Besonderheit, dass Matrizen im Allgemeinen nicht konvertierbar sind; dennoch möglich, die Potenzen (positiv oder negativ, ganzzahlig oder gebrochen) einer Matrix zu bilden und von dort zum Begriff einer rationalen und integralen Funktion oder allgemein einer beliebigen algebraischen Funktion einer Matrix "zu gelangen.

Später definiert er zuerst Addition und Multiplikation mit Skalaren und führt dann symbolisch die sogenannte "Zeilen-Spalten-Regel" ein:

" ... als Regel für die Multiplikation oder Zusammensetzung zweier Matrizen. Es ist zu beachten d, dass die Operation keine kommutative ist; Die Komponentenmatrizen können als die erste oder weitere Komponentenmatrix und die zweite oder nähere Komponentenmatrix unterschieden werden, und die Zusammensetzungsregel lautet wie folgt: Jede Zeile der zusammengesetzten Matrix wird erhalten, indem die entsprechende Zeile der ersten oder weiteren Komponentenmatrix nacheinander mit den mehreren Spalten der zweiten oder näheren zusammengesetzten Matrix kombiniert wird. "

" Komposition "und" Multiplikation "werden im gesamten Artikel synonym verwendet. Er definiert" invers oder reziprok "und beweist, was jetzt als Cayley-Hamilton-Theorem bezeichnet wird.

Cayleys Verwendung der "Multiplikation" sollte nicht allzu überraschend sein. Zu dieser Zeit wurden aktiv algebraische Systeme entwickelt, die eine Alternative zur üblichen Arithmetik darstellen, und die Wörter "Addition" und "Multiplikation" wurden abstrakt verwendet. Dies ist genau Cayleys Kontext, in dem er seine Matrizenalgebra definiert und assoziative und andere Gesetze analog zu den arithmetischen Gesetzen diskutiert. Hamilton tat es 1843 mit Quaternionen, obwohl ein Teil seiner Motivation darin bestand, Rotationen zu komponieren. Boole in seinen Denkgesetzen (1854) zögerte nicht, die logische Konjunktion "Multiplikation" zu nennen und erklärte

", dass der Prozess von nicht bestätigt wird Die Multiplikation in der Algebra, deren Grundgesetz durch die Gleichung $ xy = yx $ span> ausgedrückt wird, besitzt an sich jede Analogie zu dem Prozess der logischen Kombination, der $ xy $ span> wurde zur Darstellung oben gemacht, aber nur wenn ihre arithmetischen und logischen Prozesse auf dieselbe Weise ausgedrückt werden, unterliegen ihre symbolischen Ausdrücke demselben formalen Gesetz Beweise für diese Unterwerfung sind in beiden Fällen ziemlich unterschiedlich ".

Das Aufrufen der logischen Konjunktion „Multiplikation“ ist in der Tat unkompliziert - die Booleschen Werte mit $ (\ vee) $ bilden schließlich eine kommutative Halbgruppe, genau wie die Ganzzahlen mit $ (\ cdot) $. Die Matrixmultiplikation ist jedoch nur eine Halbgruppenoperation, das ist eine ganz andere Kategorie (Wortspiel nicht beabsichtigt).
@leftaroundabout Cayley führt es ursprünglich nur für quadratische Matrizen ein und diskutiert in diesem Zusammenhang algebraische Gesetze. Es wird später im Papier auf rechteckige erweitert. Und die Konjunktion ist idempotent und gilt für Dinge ohne Verbindung zu Zahlen, also auf andere Weise unähnlicher als die Matrixmultiplikation.
** [Nein] (// hsm.stackexchange.com/questions/11057/who-discovered-the-covering-homomorphism-between-su2-and-so3/11060#comment20134_11058).** Auf die Körperfrage ist es Es ist bekannt, dass das Produkt der Matrizen ursprünglich als * Kombination * von "Substitutionen" (Gauß 1801) und dann als * Ergebnis * von "Systemen" (Cauchy 1815) bezeichnet wurde.


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 4.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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